확률 변수

• 연산

• 기댓값

• 확률 변수의 독립

임의의 양수 $\varepsilon$에 대하여, "$n\geq N$ 이면 항상 $\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$"이 성립하게 되는 자연수 $N$ 이 존재한다.

확률 $\mathbb{P} \left\{ \left|a_{n}-a\right|<\varepsilon \right\}$은 1로 간다.

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \mathbb{P} \left\{ \left|a_{n}-a\right|<\varepsilon \right\} = 1$

$\displaystyle a_n \xrightarrow{\mathbb{P}} a$[10]

거의 모든(almost) 사건 $\omega$에 대해 $a_n(\omega) \rightarrow a(\omega)$이다.

확률 $\mathbb{P} \left\{\omega: a_n(\omega) \rightarrow a(\omega)\right\}$은 1이다.

$\displaystyle a_n \xrightarrow{\mathrm{a.s.}} a$

평균 $\mathbb{E} \left[ \left|a_{n}-a\right| \right]$은 0으로 간다.

$\displaystyle a_n \xrightarrow{L^1} a$

평균 $\mathbb{E} \left[ \left|a_{n}-a\right|^r \right]$은 0으로 간다.

$\displaystyle a_n \xrightarrow{L^r} a$

$a_n$의 확률 분포는 $a$의 확률 분포로 간다.

확률 변수 $a_n$와 $a$의 누적 확률 분포를 각각 $F_n, F$라고 한다면 모든 $x$에 대해 $\displaystyle F_n(x) \rightarrow F(x)$이다.

$\displaystyle a_n \xrightarrow{\mathrm{d}} a$ 혹은 $\displaystyle a_n \xrightarrow{\mathcal{L}} a$

• $X_n\xrightarrow{\rm a.s.}X$이면 $X_n\xrightarrow{\rm p}X$
• $X_n\xrightarrow{L^p}X$이면 $X_n\xrightarrow{\rm p}X$
• $X_n\xrightarrow{\rm p}X$이면 $X_n\xrightarrow{\rm d}X$

• $X_n\xrightarrow{\rm a.s.}X$이면 $X_n\xrightarrow{\rm d}X$
• $X_n\xrightarrow{L^p}X$이면 $X_n\xrightarrow{\rm d}X$

• $X_n\xrightarrow{\rm d}c$이면 $X_n\xrightarrow{\rm p}c$

• $X_n\xrightarrow{L^p}X$이면 $r\leq p$에 대하여 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\rm E}[X_n^r]\rightarrow{\rm E}[X^r]$

• $X_n\xrightarrow{\rm a.s.}X$이면 $g(X_n)\xrightarrow{\rm a.s}g(X)$
• $X_n\xrightarrow{\rm p}X$이면 $g(X_n)\xrightarrow{\rm p}g(X)$
• $X_n\xrightarrow{\rm d}X$이면 $g(X_n)\xrightarrow{\rm d}g(X)$

• $X_n+Y_n\xrightarrow{\rm d}c+Y$
• $X_nY_n\xrightarrow{\rm d}cY$
• $\dfrac{Y_n}{X_n}\xrightarrow{\rm d}\dfrac{Y}c$(단, $c\neq 0$)

• $X_n-Y_n\xrightarrow{\rm p}0$이고 $X_n\xrightarrow{\rm d}X$이면 $Y_n\xrightarrow{\rm d}X$이다.

• 통계에서 새로운 통계 방법론을 만들 때 반드시 필요하다. 통계 변수는 특성상 확률 변수일 수밖에 없고 데이터 샘플이 많아지게 되면 많아지게 될수록 이 통계방법론이 제대로 working하는지 체크하려면 그 극한을 살펴보아야 한다.
• 물리에서, 특히 통계역학이나 양자역학에서 분자나 원자의 개수가 많아질수록 이 시스템이 어떠한 거시적 특성을 가지는지 알아야 할 때 확률 변수의 극한이 필요하다. 왜냐하면 분자나 원자는 양자역학적인 그 고유의 특성상 확률적인 특성을 가질 수밖에 없고 아보가드로 수에 준하는 엄청난 개수의 원자의 집합은 사실상 이러한 확률 변수의 극한으로 볼 수 있기 때문이다.
• 컴퓨터공학에서 알고리즘의 성능을 논할 때 인풋 데이터의 크기가 커짐에 따라 알고리즘이 돌아가는 데 걸리는 시간(시간 복잡도)이 얼마나 걸리는지 반드시 알아야 한다. 이때 알고리즘이 결정적(deterministic) 알고리즘이 아니라 확률적(stochastic or probabilistic)인 알고리즘이라면 알고리즘이 돌아가는 데 걸리는 시간은 확률 변수일 수밖에 없고, 이 알고리즘의 효율성, 즉 시간 복잡도 or 공간 복잡도는 곧 확률 변수의 극한이 된다(물론 엄밀히 말하면 "수렴"이 아니라 "발산"이겠지만).
• 사회과학에서 계량경제학 방법론을 많이 사용하는데 이는 곧 통계 방법론이므로 위와 같은 이유로 확률 변수의 극한은 계량경제학 방법론이 제대로 작동하는지 이론적으로 확인하기 위해 반드시 필요하다.
• 금융공학에서 많이 사용되는 확률 과정과 이토 적분은 사실상 확률 변수의 극한을 통해 정의된다. 그 유명한 블랙 숄즈 역시 이 확률 과정과 이토 적분을 응용하여 특정 수익 구조(payoff structure)를 갖는 상품의 적절한 가격이 얼마여야 시장에 무차익거래(arbitrage opportunity)가 가능하지 않은지 방정식으로 표현한 것이다. 이 방정식의 해가 깔끔하게 열 방정식의 해 형태로 나오는 것은 이 확률 과정이 markovian property를 따르기 때문.

• 통계학
• 확률 분포

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통계적 방법

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