위상 데이터분석

위상 데이터분석(Topological Data Analysis, TDA)은 데이터를 위상수학과 기하학의 관점에서 분석하는 데이터 과학의 한 분야이다. 핵심 아이디어는 데이터가 단순한 숫자표가 아니라 어떤 '모양'을 가진 대상이라는 점에 주목하는 것이다. 예를 들어 이미지, 유전체 발현량, 센서 신호, 소셜 네트워크, 분자 구조, 3차원 점군 등은 겉보기에는 서로 다른 데이터이지만, 적절한 거리 함수나 유사도 함수를 정하면 점군, 그래프, 함수, 셀 복합체 같은 기하학적 대상으로 바꿀 수 있다. TDA는 이렇게 만들어진 대상에서 연결 성분, 고리, 빈 공간, 가지 구조, 국소 군집 등 일반적인 요약통계만으로는 잘 보이지 않는 전역적 구조를 추출한다.[1]

TDA에서 가장 널리 쓰이는 도구는 지속적 호몰로지(persistent homology)이다. 일반적인 호몰로지가 하나의 공간에 대해 구멍의 개수와 차원을 계산한다면, 지속적 호몰로지는 점들을 연결하는 거리 기준이나 함수의 임계값을 조금씩 바꾸면서 어떤 위상적 특징이 오래 살아남는지를 추적한다. 이때 오래 지속되는 특징은 데이터의 구조를 반영할 가능성이 높고, 짧게 나타났다가 사라지는 특징은 잡음일 가능성이 높다고 해석하는 경우가 많다. 다만 이 해석은 어디까지나 직관이며, 실제 연구에서는 통계적 검정, 재표본추출, 파라미터 민감도 분석, 분야 지식에 의한 검증이 함께 필요하다.[2]

TDA는 보통 단독 분석법이라기보다는 통계학, 기계학습, 데이터 시각화와 함께 쓰인다. 지속적 호몰로지의 결과인 바코드나 퍼시스턴스 다이어그램은 그대로는 일반적인 벡터공간의 원소가 아니므로, 퍼시스턴스 랜드스케이프, 퍼시스턴스 이미지, 베티 곡선, 퍼시스턴스 엔트로피, 커널 등의 방식으로 변환한 뒤 분류·회귀·군집화 모델에 넣는 경우가 많다.[3][4]

지속적 호몰로지와 TDA의 아이디어는 한 번에 완성된 것이 아니라 계산 위상수학, 모스이론, 데이터 시각화, 통계학적 형상 분석이 결합하면서 발전했다. 1990년대에는 크기 함수(size function), 모스이론의 canonical form, 여과된 복체의 호몰로지 변화 추적 같은 선구적 아이디어가 제안되었다. 이후 Edelsbrunner, Letscher, Zomorodian은 지속적 호몰로지와 퍼시스턴스 다이어그램을 계산 가능한 형태로 정식화하였고, Zomorodian과 Carlsson은 이를 가환대수와 지속 모듈의 언어로 체계화하였다.[5][6]

2000년대 중후반부터는 지속적 호몰로지의 안정성, Mapper 알고리즘, 통계적 추론, 기계학습 입력으로의 벡터화가 연구되면서 TDA가 데이터 과학의 한 방법론으로 자리 잡기 시작했다. 이후 생물정보학, 의료영상, 재료과학, 시계열 분석, 네트워크 분석, 과학적 시각화 등으로 응용 범위가 확장되었다.

전통적인 데이터 분석과 기계학습은 대체로 좌표값, 거리, 확률분포, 손실함수, 선형대수적 표현을 중심으로 데이터를 다룬다. 반면 현대의 위상수학과 기하학은 연결성, 구멍, 곡률, 다양체, 복체, 층, 호몰로지처럼 공간의 구조를 다루는 다양한 언어를 제공한다. 위상 데이터분석은 이러한 도구를 데이터 분석에 끌어오는 분야이다.

위상수학뿐 아니라 기하학적 방법까지 함께 사용하는 경우에는 위상기하적 데이터분석(Topological and Geometric Data Analysis, TGDA)이라는 표현을 쓰기도 한다. 이 문서에서는 좁은 의미의 TDA, 즉 지속적 호몰로지와 Mapper 중심의 방법을 핵심으로 다루되, 다양체 학습과 비선형 차원축소처럼 TDA와 인접한 위상기하적 방법도 함께 소개한다.

현실의 데이터는 결국 유한한 정보만을 담고 있으므로, 이를 연속적인 대상을 분석하는 위상수학 및 기하학에 연결하기 위해서는 징검다리가 필요하다. TDA는 이산적인 데이터를 연속적 또는 조합적 기하 대상으로 바꾸는 데에서 시작한다.

예를 들어 호몰로지를 공간의 "구멍"을 세는 방법이라고 하면, 이것을 바로 이산적 대상에 적용할 때 문제가 생긴다. 연속적 대상인 원의 1차 호몰로지는 원의 구멍 하나를 반영한다. 그러나 원 위에서 10000개의 점만 골라 만든 유한 집합의 호몰로지를 직접 계산하면, 각 점은 분리된 0차원 성분일 뿐이므로 1차 구멍은 나타나지 않는다. 사람은 흩어진 점들의 집합에서 원의 구조를 추론하지만, 호몰로지는 주어진 공간 자체만 본다. TDA는 이러한 유한 점집합에 적절한 근방이나 복체를 부여하여, 점들이 암시하는 연속적 구조를 분석하려고 한다.

"점들의 모임"이 중요한 이유는 많은 데이터가 고차원 점군으로 표현되기 때문이다. 예를 들어 가로세로 100 x 100개의 화소로 된 RGB 이미지는 3 x 100 x 100 = 30000개의 숫자로 표현할 수 있으므로, $\mathbb{R}^{30000}$의 한 점으로 볼 수 있다. 이미지가 1000장 있다면 $\mathbb{R}^{30000}$ 안에 1000개의 점이 있는 셈이다. 유전체 발현량, 문서 임베딩, 센서 측정값, 분자 특징량 등도 비슷한 방식으로 고차원 점군으로 볼 수 있다.

이런 점군에서 구조를 추출하기 위해 대표적으로 쓰이는 대상은 단체복체(simplicial complex)와 다양체(manifold)이다. 단체복체는 점, 선분, 삼각형, 사면체와 그 고차원 일반화를 붙여 만든 조합적 공간이고, 다양체는 국소적으로 유클리드 공간처럼 보이는 연속적 공간이다. TDA에서는 주로 점군에서 단체복체를 만들고 그 호몰로지를 계산하지만, 다양체 학습처럼 데이터가 놓인 낮은 차원의 연속적 구조를 추정하는 접근도 함께 사용된다.

TDA의 가장 전형적인 흐름은 다음과 같다.

1. 데이터를 점군, 그래프, 이미지, 함수, 거리공간 등으로 표현한다.
2. 거리 함수, 유사도 함수, 필터 함수, 스칼라장 등을 정한다.
3. Vietoris-Rips 복체, 체흐 복체, alpha complex, cubical complex, clique complex 등으로 여과를 만든다.
4. 각 여과 단계에서 호몰로지를 계산하고, 호몰로지류의 탄생과 죽음을 추적한다.
5. 결과를 바코드 또는 퍼시스턴스 다이어그램으로 나타낸다.
6. 필요하면 퍼시스턴스 이미지, 랜드스케이프, 베티 곡선 등으로 벡터화한다.
7. 통계적 검정, 시각화, 군집화, 분류, 회귀, 모델 해석에 사용한다.

이 흐름은 점군 데이터에만 한정되지 않는다. 이미지 자료에서는 픽셀이나 복셀 값을 이용해 cubical complex를 만들 수 있고, 그래프 자료에서는 가중치나 거리 기준으로 부분그래프 여과를 만들 수 있다. 시계열 자료에서는 지연 좌표 삽입(delay embedding)을 통해 시계열 조각을 고차원 점군으로 바꾸어 분석할 수 있다.

점들의 모임에서 단체복체를 만들어내는 대표적인 방법에는 Vietoris-Rips 복체, 체흐 복체, alpha complex, witness complex, cubical complex 등이 있다. 어떤 복체를 선택할지는 데이터의 형태, 계산 비용, 원하는 기하학적 의미에 따라 달라진다.

점들의 집합 $X = {x_1, \cdots, x_N} \subseteq \mathbb R^d$가 주어졌다고 하자. 역치 $r$의 Vietoris-Rips 복체, 줄여서 VR 복체 $\mathrm{VR}_r(X)$는 먼저 $|x_i-x_j| < r$인 점 $x_i, x_j$들을 변으로 잇는 그래프를 만든 뒤, 그 그래프의 모든 완전 부분그래프에 단체를 채워 넣어 만든다. 예를 들어 세 점이 서로 모두 거리 $r$보다 가까우면, 세 변뿐 아니라 그 안쪽의 2차원 삼각형도 복체에 포함한다.

체흐 복체 $\check{C}*r(X)$는 각 점 $x_i$를 중심으로 반지름 $r$인 열린 공 $B_i$를 그리고, 여러 공의 교집합이 공집합이 아닐 때 그 점들에 대응하는 단체를 넣어 만든다. 즉,
$\bigcap*{i\in I}B_i\neq\emptyset$
이면 $I$에 대응하는 단체가 체흐 복체에 들어간다. 유클리드 공간의 공들은 모든 유한 교집합이 볼록이므로, 적절한 조건에서 신경 보조정리(nerve lemma)에 의해 체흐 복체는 공들의 합집합 $\bigcup_i B_i$와 호모토피 동치이다. 이 때문에 체흐 복체는 기하학적 의미가 비교적 명확하다.

$r\leq r'$이면 $\mathrm{VR}*r(X)\subseteq \mathrm{VR}*{r'}(X)$이고 $\check{C}*r(X)\subseteq \check{C}*{r'}(X)$이다. 즉, 반지름 또는 역치가 커질수록 단체는 새로 추가되기만 하고 사라지지 않는다. 이런 포함관계의 열을 여과(filtration)라고 한다.

위의 반지름 convention을 사용하면 다음과 같은 포함관계가 성립한다.
$\check{C}_{r/2}(X)\subseteq \mathrm{VR}*r(X)\subseteq \check{C}*{r}(X)$
첫 번째 포함관계는 반지름 $r/2$인 공들이 공통 교점을 가지면 그 중심점들 사이의 거리가 모두 $r$보다 작아지기 때문에 성립한다. 두 번째 포함관계는 VR 복체에서 한 단체를 이루는 점들이 서로 거리 $r$보다 가까우면, 그 점들 중 하나를 잡았을 때 그 점이 나머지 모든 점을 중심으로 하는 반지름 $r$ 공 안에 들어가기 때문에 성립한다.

VR 복체는 정의가 간단하고 임의의 유한 거리공간에 적용할 수 있어 널리 쓰인다. 하지만 점의 수가 늘어나면 단체 수가 매우 빠르게 증가한다. 반면 체흐 복체는 기하학적 의미가 강하지만 실제 계산이 더 어렵다. 그래서 실무에서는 VR 복체, alpha complex, sparse Rips complex, witness complex, cubical complex 등을 상황에 맞게 선택한다.

Alpha complex는 유클리드 공간의 점군에서 Delaunay triangulation과 공의 반지름 정보를 이용해 만드는 복체이다. 체흐 복체와 관련된 기하학적 의미를 가지면서도, 전체 체흐 복체보다 훨씬 작게 만들 수 있어 저차원 유클리드 점군에서 자주 사용된다.

Witness complex는 모든 점을 다 쓰지 않고 일부 대표점(landmark)을 고른 뒤, 나머지 점들이 어떤 대표점과 가까운지를 이용해 복체를 만든다. 큰 점군에서 계산량을 줄이기 위한 방법으로 사용된다. Cubical complex는 정사각형, 정육면체와 그 고차원 일반화인 cubical cell을 사용하며, 이미지나 3차원 볼륨 데이터처럼 격자 구조가 있는 자료에 적합하다.

그래프 자료에서는 그래프의 clique를 단체로 보는 clique complex 또는 flag complex를 사용할 수 있다. 가중 그래프에서는 가중치 임계값을 변화시키며 부분그래프 여과를 만들고, 이로부터 네트워크의 연결성과 고차원 구멍을 분석할 수 있다.

지속적 호몰로지는 위상 데이터분석에서 가장 중심적인 방법이다. 단체복체 하나의 호몰로지를 계산하는 것이 아니라, 단체복체들이 포함관계로 늘어나는 열
$K_0 \subseteq K_1 \subseteq \cdots \subseteq K_m$
을 생각하고, 이 과정에서 호몰로지류가 언제 생기고 언제 사라지는지를 추적한다. 이러한 포함관계의 열을 여과라고 한다. 점군에서 만든 Vietoris-Rips 복체나 체흐 복체의 반지름 $r$를 증가시키면 자연스럽게 여과가 생긴다.

호몰로지 차원 $k$에 대해 $H_k(K_i)$의 원소는 $k$차원의 위상적 특징을 나타낸다. $k=0$에서는 연결 성분, $k=1$에서는 고리 또는 터널, $k=2$에서는 빈 공간 또는 공동(cavity)을 뜻한다고 해석할 수 있다. 어떤 특징이 $K_i$에서 처음 나타나면 그 시점을 탄생(birth), 이후 $K_j$에서 다른 특징과 합쳐지거나 경계가 되어 사라지면 그 시점을 죽음(death)이라고 부른다. 탄생과 죽음의 차이를 지속성(persistence)이라고 한다.

지속적 호몰로지의 결과는 보통 바코드(barcode) 또는 퍼시스턴스 다이어그램(persistence diagram)으로 나타낸다. 바코드는 각 위상적 특징을 하나의 구간 $[b,d)$으로 그린 것이고, 퍼시스턴스 다이어그램은 각 특징을 평면 위의 점 $(b,d)$으로 나타낸 것이다. 대각선 $b=d$에 가까운 점은 짧게 나타났다 사라진 특징을 뜻하므로 잡음으로 해석되는 경우가 많고, 대각선에서 멀리 떨어진 점은 여러 스케일에서 지속된 특징을 뜻한다.

수학적으로는 체 $\mathbb{k}$ 위의 호몰로지를 사용하면 하나의 여과가 일련의 벡터공간과 선형사상
$H_k(K_0;\mathbb{k}) \to H_k(K_1;\mathbb{k}) \to \cdots \to H_k(K_m;\mathbb{k})$
을 만든다. 유한한 1-매개변수 여과의 경우 이 자료는 구간 모듈들의 직합으로 분해될 수 있으며, 이 구간들의 모임이 바코드에 해당한다. 이 구조정리는 지속적 호몰로지가 계산 가능하고 시각화 가능한 불변량으로 쓰일 수 있는 핵심 이유이다.[7]

지속적 호몰로지의 중요한 장점은 안정성(stability)이다. 입력 데이터나 필터 함수가 조금 변할 때 퍼시스턴스 다이어그램도 일정한 거리 안에서만 변한다는 정리가 알려져 있다. 이 때문에 지속적 호몰로지는 잡음이 있는 데이터에서도 비교적 강건한 구조 요약으로 쓰인다.[8] 다만 안정성이 모든 실험적 해석을 자동으로 보장하는 것은 아니며, 거리 함수 선택, 전처리, 표본 수, 여과 방식, 계수체, 최대 차원 선택에 따라 결과가 달라질 수 있다.

퍼시스턴스 다이어그램은 그 자체로는 일반적인 유클리드 벡터가 아니기 때문에 기계학습에 직접 넣기 어렵다. 이를 해결하기 위해 여러 벡터화 방법이 사용된다. 대표적으로 퍼시스턴스 랜드스케이프는 바코드의 구간을 조각별 선형 함수들의 열로 바꾸고, 퍼시스턴스 이미지는 퍼시스턴스 다이어그램을 가중된 밀도 함수로 바꾼 뒤 격자 위의 이미지로 만든다. 이 밖에도 베티 곡선, 퍼시스턴스 엔트로피, 퍼시스턴스 실루엣, 퍼시스턴스 커널 등이 있다.[9][10]

지속적 호몰로지는 점군뿐 아니라 이미지, 3차원 볼륨 데이터, 그래프, 시계열에도 적용된다. 이미지나 3차원 격자 데이터에서는 cubical complex가 자주 쓰이고, 시계열에서는 지연 좌표 삽입을 통해 시계열 조각을 고차원 점군으로 바꾼 뒤 지속적 호몰로지를 계산할 수 있다. 그래프에서는 노드 간 거리, 가중치, 부분그래프 여과 등을 이용하여 네트워크의 위상적 특징을 추출한다.

퍼시스턴스 다이어그램을 비교하려면 두 다이어그램 사이의 거리를 정의해야 한다. 대표적인 거리는 병목 거리(bottleneck distance)와 바서슈타인 거리(Wasserstein distance)이다. 병목 거리는 한 다이어그램의 점들을 다른 다이어그램의 점들 또는 대각선 위의 점들과 짝지을 때, 가장 큰 이동 거리를 최소화한 값이다. 바서슈타인 거리는 이러한 짝짓기에서 전체 이동량을 합산하는 방식의 거리이다.

이 거리들은 지속적 호몰로지의 안정성 정리에서 핵심적인 역할을 한다. 예를 들어 입력 함수 $f$와 $g$가 균등노름 기준으로 가깝다면, 두 함수에서 얻은 퍼시스턴스 다이어그램도 병목 거리 기준으로 가깝다는 형태의 정리가 알려져 있다. 따라서 병목 거리와 바서슈타인 거리는 단순한 비교 도구가 아니라, TDA가 잡음에 대해 강건하다고 말할 수 있는 수학적 기반이다.[11][12]

지속적 호몰로지는 보통 여과된 복체의 경계행렬(boundary matrix)을 만든 뒤, 이를 특정한 방식으로 환원(reduction)하여 계산한다. 각 단체에는 여과값이 붙어 있으며, 여과값이 작은 단체부터 큰 단체 순서로 정렬한다. 이후 경계연산자가 만드는 행렬을 열 연산으로 단순화하면, 어떤 단체가 새로운 호몰로지류를 생성하고 어떤 단체가 기존 호몰로지류를 죽이는지 알 수 있다. 이 짝짓기가 바코드나 퍼시스턴스 다이어그램의 birth-death 쌍으로 나타난다.[13]

실제 계산에서는 복체의 크기를 줄이는 것이 중요하다. Vietoris-Rips 복체는 정의가 간단하지만 점의 수가 증가하면 단체 수가 매우 빠르게 늘어난다. 그래서 유클리드 공간의 점군에서는 alpha complex를 사용하거나, 대표점만 뽑아 witness complex를 만들거나, 희소 Rips 복체와 이산적 모스 축약을 사용해 계산량을 줄인다.

지속적 호몰로지와 쌍대적인 개념으로 지속적 코호몰로지(persistent cohomology)가 있다. 호몰로지가 연결 성분, 고리, 공동 같은 위상적 특징의 존재를 계산한다면, 코호몰로지는 이러한 특징을 측정하는 함수적 정보를 제공한다. 계산 측면에서는 지속적 코호몰로지가 더 효율적인 알고리즘으로 구현되는 경우도 많다.

지속적 코호몰로지의 대표적인 응용 중 하나는 원형 좌표(circular coordinates)의 구성이다. 데이터가 원형 또는 주기적 구조를 가진다면, 1차 지속적 코호몰로지류를 이용해 각 데이터 점에 원 $S^1$ 위의 좌표를 부여할 수 있다. 이는 주기적 동역학계, 반복 운동, 생체 리듬, 위상적 차원축소 등에 응용될 수 있다.[14]

이산적 모스이론은 매끄러운 다양체 위의 모스이론을 단체복체나 CW 복체 같은 조합적 대상에 맞게 바꾼 이론이다. 고전적인 모스이론에서는 함수의 임계점과 그 지수를 이용해 다양체의 위상적 구조를 이해한다. 이산적 모스이론에서는 셀들을 서로 짝짓는 방식, 즉 이산적 벡터장(discrete vector field)을 사용하여 복체를 더 작은 복체로 줄이면서도 호몰로지 같은 위상 정보를 보존한다.

TDA에서 이산적 모스이론은 주로 계산량을 줄이는 데 사용된다. 지속적 호몰로지를 계산할 때 단체의 수가 너무 많으면 경계행렬이 커지고 계산 비용이 급격히 증가한다. 이때 호몰로지나 지속적 호몰로지에 영향을 주지 않는 셀들을 제거하거나 축약하면, 더 작은 복체에서 같은 결과를 얻을 수 있다. Mischaikow와 Nanda는 여과된 셀 복합체에서 지속적 호몰로지를 보존하면서 셀의 수를 줄이는 전처리 알고리즘을 제시하였다.[15]

예를 들어 어떤 여과된 복체 $K_0\subseteq\cdots\subseteq K_m$가 있을 때, 각 단계의 여과값을 망가뜨리지 않는 방식으로 셀들을 짝지어 제거하면 원래 복체보다 훨씬 작은 모스 복체(Morse complex)를 얻을 수 있다. 이후 지속적 호몰로지는 축약된 복체에서 계산한다. 이 방법은 특히 이미지, 3차원 격자, 큰 단체복체처럼 셀 수가 많은 자료에서 유용하다.

매퍼(Mapper)는 고차원 데이터를 그래프 또는 단체복체 형태로 요약하는 TDA 알고리즘이다. 지속적 호몰로지가 여러 스케일에서 나타나는 구멍을 계산하는 방법이라면, 매퍼는 데이터의 전체적인 가지 구조, 부분군, 순환 구조, 이상치 등을 시각적으로 드러내는 탐색적 데이터 분석 방법에 가깝다. Singh, Mémoli, Carlsson이 2007년에 제안한 알고리즘으로, 생물학·의학 데이터에서 숨겨진 환자군이나 세포군을 찾는 데 자주 응용되었다.[16]

매퍼 알고리즘의 입력은 보통 점군 $X$와 필터 함수 $f:X\to Z$이다. 필터 함수는 데이터의 각 점에 하나 이상의 값을 부여하는 함수이며, 밀도 추정값, 첫 번째 주성분, 편심도(eccentricity), 렌즈 함수, 예측 점수, 시간, 거리, UMAP 좌표 등이 사용될 수 있다. 필터 함수는 매퍼가 데이터를 어떤 방향에서 바라볼지를 정하는 렌즈 역할을 한다.

매퍼의 기본 절차는 다음과 같다.

1. 데이터 $X$에 필터 함수 $f$를 적용하여 값역 $f(X)$를 얻는다.
2. 값역을 여러 개의 겹치는 구간 또는 열린집합으로 덮는다.
3. 각 덮개 조각 $U_i$에 대해 역상 $f^{-1}(U_i)$를 구한다.
4. 각 역상 안에서 클러스터링을 수행한다.
5. 클러스터 하나를 노드로 만들고, 서로 겹치는 데이터 점을 공유하는 클러스터들을 간선으로 연결한다.

이렇게 얻은 그래프를 매퍼 그래프라고 부른다. 덮개를 구간이 아니라 여러 차원의 열린집합으로 잡고, 겹침 관계를 고차원까지 고려하면 일반적인 단체복체 형태의 매퍼도 만들 수 있다. 그러나 실제 응용에서는 해석이 쉬운 그래프 형태가 가장 많이 쓰인다.

연속적인 상황에서 매퍼는 Reeb graph와 관련이 있다. 함수 $f:X\to Z$와 $Z$의 열린 덮개가 주어졌을 때, 각 덮개 조각의 역상 $f^{-1}(U_i)$를 연결 성분으로 나누고, 이 연결 성분들의 겹침 관계에 대한 nerve를 취하는 방식으로 이해할 수 있다. 실제 데이터에서는 연속공간 대신 유한한 점군만 주어지므로, 연결 성분을 직접 계산하는 대신 클러스터링 알고리즘을 사용한다.

매퍼의 장점은 복잡한 고차원 데이터를 사람이 이해하기 쉬운 네트워크로 요약한다는 점이다. 일반적인 군집화는 각 점을 하나의 군집에만 배정하는 경우가 많지만, 매퍼는 덮개가 겹치기 때문에 한 데이터 점이 여러 지역 구조 사이의 연결부 역할을 할 수 있다. 따라서 연속적인 변화, 가지치는 구조, 희귀한 부분군, 군집 사이의 전이 영역을 관찰하기 좋다.

매퍼는 필터 함수, 덮개의 크기와 겹침 정도, 클러스터링 알고리즘, 거리 함수에 민감하다. 같은 데이터라도 렌즈와 파라미터를 바꾸면 다른 그래프가 나올 수 있으므로, 결과를 하나의 객관적 정답으로 보기보다는 탐색적 요약으로 해석하는 것이 안전하다. Carrière, Michel, Oudot는 1차원 Mapper가 연속적 대상인 Reeb graph의 통계적 추정량으로 해석될 수 있음을 보이고, 매퍼의 파라미터 선택과 신뢰영역을 분석하였다.[17]

대표적인 응용 사례로는 유방암 유전자 발현 데이터에서 기존 분류로는 잘 드러나지 않던 환자군을 찾은 연구, 제2형 당뇨 환자 데이터에서 임상적으로 의미 있는 부분군을 찾은 연구 등이 있다.[18][19] 매퍼는 의료 데이터뿐 아니라 이미지, 분자 구조, 재료과학, 자연어 임베딩, 고객 세분화, 네트워크 분석 등에서도 데이터의 전역 구조를 탐색하는 도구로 쓰인다.

이 접근은 보통 다양체 학습(manifold learning)이라는 이름으로 불린다. 기본 가정은 고차원 공간에 놓인 데이터가 실제로는 훨씬 낮은 차원의 다양체 또는 그 근방에 분포한다는 것이다. 이를 다양체 가설(manifold hypothesis)이라고 한다. 예를 들어 같은 물체를 여러 각도에서 찍은 이미지들은 픽셀 차원에서는 매우 고차원이지만, 실제 변화 요인은 회전각, 조명, 크기 등 상대적으로 적은 수의 변수일 수 있다.

TDA와 다양체 학습은 서로 다른 전통에서 출발했지만 공통점이 많다. 둘 다 점군 뒤에 있는 기하학적 구조를 추정하려고 하며, 유클리드 좌표 자체보다 거리, 근방, 연결성, 곡률, 구멍 같은 구조적 정보를 중요하게 본다. 다만 지속적 호몰로지가 주로 연결성이나 구멍 같은 위상적 불변량에 초점을 맞춘다면, 다양체 학습은 저차원 좌표, 접공간, 측지거리, 라플라스 연산자 같은 기하학적 정보를 더 직접적으로 다룬다.

수학적으로는 표본점들이 어떤 미지의 다양체에서 추출되었다고 가정할 때, 그 다양체의 차원, 접공간, 곡률, 경계, reach, 호몰로지, 라플라스-벨트라미 연산자 등을 추정하는 문제가 포함된다. Niyogi, Smale, Weinberger의 연구는 충분한 표본과 조건이 있을 때 점군으로부터 원래 다양체의 호몰로지를 높은 확률로 복원할 수 있음을 보였다.[20]

차원축소는 고차원 데이터를 더 낮은 차원으로 옮겨 시각화하거나 분석하기 쉽게 만드는 방법이다. 가장 기본적인 방법인 주성분 분석(PCA)은 선형 부분공간에 데이터를 투영하므로 선형 차원축소에 속한다. PCA는 계산이 빠르고 해석이 쉽지만, 데이터가 곡선이나 곡면처럼 휘어진 구조를 이룰 때에는 저차원 구조를 잘 표현하지 못할 수 있다.

Isomap은 비선형 다양체 위의 측지거리를 근사하려는 방법이다. 먼저 가까운 점들끼리 이웃 그래프를 만들고, 그래프 위의 최단거리로 다양체 위의 거리를 근사한 뒤, 다차원 척도법(MDS)을 사용해 저차원 좌표를 찾는다. Swiss roll 예시처럼 유클리드 거리로는 멀고 가까움이 왜곡되는 데이터에서 유용하다. 그러나 이웃 그래프가 잘못 연결되거나 잡음이 많은 경우 결과가 불안정해질 수 있다.[21]

Laplacian eigenmaps는 데이터의 이웃 그래프를 만들고 그래프 라플라시안의 고유벡터를 사용하여 저차원 표현을 얻는 방법이다. 이 방법은 국소적 근방 구조를 보존하는 데 초점을 맞추며, 스펙트럴 클러스터링과도 밀접한 관련이 있다.[22] Locally Linear Embedding(LLE)은 각 점을 이웃점들의 선형결합으로 표현하는 가중치를 구한 뒤, 그 가중치 관계가 저차원에서도 유지되도록 좌표를 찾는다.

t-SNE는 고차원 공간과 저차원 공간에서 점들 사이의 이웃 확률분포가 비슷해지도록 최적화하는 시각화 방법이다. 복잡한 고차원 데이터의 군집 구조를 2차원 또는 3차원 그림으로 보여주는 데 많이 쓰인다.[23] 다만 t-SNE의 군집 간 거리나 군집 크기는 실제 데이터의 전역 구조를 그대로 의미하지 않을 수 있으며, perplexity, learning rate, 초기값 등 하이퍼파라미터에 민감하다.

UMAP은 리만기하학과 대수적 위상수학에서 영감을 받은 차원축소 알고리즘으로, 고차원 데이터의 국소 연결 구조를 fuzzy simplicial set으로 표현한 뒤 저차원에서 비슷한 구조를 갖도록 최적화한다.[24] t-SNE처럼 시각화에 많이 쓰이지만, 계산 속도가 빠르고 저차원 임베딩 차원을 2차원으로 제한하지 않아 일반적인 전처리나 특성 추출에도 활용된다. 다만 UMAP 역시 n_neighbors, min_dist, 거리 함수 선택에 따라 결과가 크게 달라질 수 있으므로 해석에 주의가 필요하다.

수학적으로 더 엄밀한 다양체 학습은 단순히 2차원 그림을 만드는 문제보다 넓다. 표본점들이 어떤 미지의 다양체에서 추출되었다고 가정할 때, 그 다양체의 차원, 접공간, 곡률, 경계, reach, 호몰로지, 라플라스-벨트라미 연산자 등을 추정하는 문제가 포함된다.

다양체 학습에서 중요한 개념 중 하나는 reach이다. reach는 다양체 주변에서 각 점이 다양체 위의 가장 가까운 점을 유일하게 갖는 관 모양 영역의 두께를 나타내는 양이다. reach가 작으면 다양체가 심하게 휘거나 서로 가까이 지나가므로, 유한 표본에서 구조를 안정적으로 추정하기 어렵다. 따라서 다양체의 위상이나 기하를 복원하려면 표본 밀도뿐 아니라 곡률, reach, 잡음 크기 같은 조건도 중요하다.

Local Tangent Space Alignment(LTSA) 같은 방법은 각 점 근처에서 접공간을 추정하고, 국소 좌표계들을 서로 정렬하여 전역 좌표를 구성한다. 이러한 방법들은 차원축소 알고리즘으로도 쓰이지만, 더 넓게는 고차원 데이터가 놓인 저차원 기하 구조를 추정하는 시도로 볼 수 있다. 최근에는 벡터 번들, connection Laplacian, sheaf 등을 이용하여 데이터 위의 방향장이나 국소 좌표 변화까지 분석하려는 연구도 진행되고 있다.

일반적인 지속적 호몰로지는 하나의 매개변수, 예를 들어 반지름 $r$ 또는 함수의 임계값 하나를 변화시키며 위상적 특징을 추적한다. 그러나 실제 데이터에서는 두 개 이상의 매개변수를 동시에 고려해야 할 때가 있다. 예를 들어 점군의 거리 스케일과 밀도 임계값을 함께 보거나, 이미지에서 밝기와 공간 스케일을 동시에 바꾸는 경우가 있다. 이런 경우에 등장하는 것이 다중매개변수 지속성(multiparameter persistence)이다.

1-매개변수 지속성에서는 적절한 조건 아래 지속 모듈이 구간 모듈들의 직합으로 분해되고, 그 결과를 바코드로 나타낼 수 있다. 하지만 다중매개변수 지속성에서는 일반적으로 이와 같은 간단한 완전 불변량이 존재하지 않는다. 이 때문에 rank invariant, Hilbert function, fibered barcode, signed barcode 등 여러 요약 불변량이 연구되고 있다.[25][26]

기본적인 지속적 호몰로지는 복체들이 $K_0\subseteq K_1\subseteq\cdots$처럼 한 방향으로 커지는 여과를 가정한다. 그러나 응용과 이론에서는 이보다 일반적인 형태의 지속성도 사용된다.

지그재그 지속성(zigzag persistence)은 복체 사이의 사상이 한 방향으로만 가지 않고 $K_0\to K_1\leftarrow K_2\to K_3$처럼 앞뒤로 바뀔 수 있는 경우를 다룬다. 이는 시간에 따라 데이터가 추가되거나 삭제되는 상황, 서로 겹치는 데이터 구간을 비교하는 상황에서 유용하다.[27]

확장 지속성(extended persistence)은 보통의 sublevel set 지속성에 상대 호몰로지를 결합하여, 함수의 전체적인 위상 변화를 더 완전하게 기록하려는 방법이다. 원형 지속성(circular persistence)은 실수값 함수가 아니라 원 $S^1$ 값 함수를 대상으로 하며, 원형 좌표나 주기적 구조를 분석할 때 관련된다. 계수체가 아니라 정수 계수를 사용하면 torsion 정보가 나타날 수 있는데, 이는 일반적인 체 계수 지속성에서는 사라지는 위상 정보를 포함할 수 있다.

응용 범주론은 수학의 범주론적 언어를 데이터 분석, 네트워크, 동역학계, 데이터베이스, 확률모형 등에 적용하려는 분야이다. TDA와의 접점은 주로 자료를 어떻게 공간적·조합적 구조로 조직하고, 그 구조 사이의 관계를 어떻게 보존할 것인가라는 문제에서 나타난다.

지속적 호몰로지는 범주론적으로도 자연스럽게 표현된다. 실수의 순서집합을 범주로 보고, 각 임계값 $r$에 복체 $K_r$나 호몰로지 $H_k(K_r)$를 대응시키면 함수자(functor)를 얻는다. 즉, 여과는 순서범주에서 위상공간 또는 단체복체의 범주로 가는 함수자로 볼 수 있고, 지속적 호몰로지는 이를 벡터공간의 범주로 보내는 함수자로 볼 수 있다. 이런 관점은 1-매개변수 지속성뿐 아니라 다중매개변수 지속성, zigzag persistence, interleaving distance 등을 다루는 데 중요하다.

층(sheaf)과 여층(cosheaf)도 TDA에서 쓰인다. 층은 공간의 열린집합마다 자료를 붙이고, 작은 영역의 자료들이 어떻게 큰 영역의 자료로 일관되게 붙는지를 다루는 도구이다. 센서 네트워크, 신호 처리, 데이터 융합처럼 국소 정보가 여러 위치에서 주어지고 이를 전역적으로 결합해야 하는 문제에 적합하다. 반대로 cosheaf는 국소 자료를 더 큰 영역으로 밀어 올리는 방향의 구조를 다루며, Mapper 알고리즘의 이론적 해석에 사용된다.

예를 들어 Mapper는 필터 함수의 값역을 여러 구간으로 덮고, 각 구간의 역상에서 클러스터를 만든 뒤, 겹치는 데이터가 있는 클러스터들을 연결하여 그래프를 만든다. 이 과정은 단순한 시각화 절차로도 설명할 수 있지만, 더 추상적으로는 데이터의 부분공간들에 대한 연결성 정보를 cosheaf로 조직하고 그 nerve를 취하는 과정으로 볼 수 있다. 이러한 관점은 Mapper 결과가 덮개, 필터 함수, 클러스터링 선택에 어떻게 의존하는지를 분석하는 데 도움이 된다.

응용 범주론은 TDA의 계산 실무에서 항상 필요한 것은 아니다. 그러나 지속성 모듈, 층·여층, interleaving, constructible cosheaf 같은 개념은 TDA의 이론적 일반화와 안정성 분석에서 중요한 역할을 한다.

실제 데이터에서 얻은 퍼시스턴스 다이어그램은 표본 추출, 측정 오차, 잡음, 전처리 방식의 영향을 받는다. 따라서 긴 막대는 의미 있는 구조이고 짧은 막대는 잡음이라는 해석은 유용한 직관이지만, 그 자체로 통계적 유의성을 보장하지는 않는다. 이 문제를 다루기 위해 TDA에서는 신뢰집합, 부트스트랩, 수렴률, 안정적 벡터화 방법 등이 연구되었다.

Fasy 등은 퍼시스턴스 다이어그램에 대한 신뢰집합(confidence set)을 구성하여 위상적 신호와 잡음을 구별하는 통계적 방법을 제시하였다.[28] 또한 Chazal 등은 퍼시스턴스 다이어그램 추정의 수렴률을 분석하여, 표본에서 계산한 위상적 특징이 원래 분포의 위상적 특징을 얼마나 잘 근사하는지 연구하였다.[29]

통계적 관점에서는 퍼시스턴스 다이어그램을 직접 다루기 어렵기 때문에, 퍼시스턴스 랜드스케이프나 퍼시스턴스 이미지처럼 함수 또는 벡터 형태로 바꾸는 방법도 중요하다. 이러한 표현은 평균, 분산, 부트스트랩, 분류·회귀 모델과 결합하기 쉽다는 장점이 있다.

TDA는 데이터의 좌표값 자체보다 데이터가 이루는 모양과 연결 구조를 보려는 분야이기 때문에, 고차원·비선형·잡음이 많은 자료에서 자주 쓰인다. 특히 표본 수는 많지 않지만 변수 수가 많고, 시각화나 해석 가능성이 중요한 분야에서 응용 사례가 많다.

의학과 생물정보학에서는 유전체 발현량, single-cell RNA-seq, 의료영상, 병리조직 이미지, 단백질 구조 분석 등에 활용된다. 예를 들어 매퍼를 이용해 유방암 유전자 발현 데이터에서 기존 분류와 다른 부분군을 찾은 연구가 있고, 지속적 호몰로지를 이용해 전립선암 병리조직의 선 구조를 정량화한 연구도 있다.[30][31]

암 유전체 연구에서는 돌연변이와 발현량 자료를 통합하여 후보 암 관련 유전자를 찾는 데 TDA가 사용되었다.[32] single-cell RNA-seq 자료에서도 TDA는 세포 상태의 연속성, 분화 과정, 분기 구조, 희귀 세포군을 분석하는 데 사용된다. 세포 분화나 발달 과정은 명확히 분리된 군집이라기보다 연속적인 경로와 가지로 나타나는 경우가 많으므로, Mapper 같은 방법이 탐색적 분석에 적합할 수 있다.[33]

시계열 데이터에서는 지연 좌표 삽입을 이용해 시계열을 점군으로 바꾼 뒤 지속적 호몰로지를 계산한다. 주기적 신호는 원형 구조를 만들 수 있고, 준주기적 신호는 토러스와 비슷한 구조를 만들 수 있다. 따라서 ECG, EEG, 금융 시계열, 센서 데이터, 동역학계의 이상 탐지와 상태 분류에 활용할 수 있다. 특히 sliding window embedding과 지속적 호몰로지를 결합하면 반복성, 준주기성, 상태 전이를 위상적으로 요약할 수 있다.[34]

이미지와 3차원 형상 분석에서는 픽셀 또는 복셀 데이터를 cubical complex로 바꾸거나, 경계점·표면점·포인트 클라우드에서 복체를 만든다. 병리 이미지의 조직 구조, 뇌 영상, 물체 인식, 표면 비교, 지도 자동 생성, 3차원 스캔 데이터 분석 등이 여기에 속한다. Persistent homology transform이나 Euler characteristic transform은 방향별로 형상의 위상적 변화를 요약하여 2차원·3차원 형상을 비교하는 데 쓰인다.[35]

재료과학에서는 원자 배치, 공극 구조, 결정·비정질 구조의 고리와 빈 공간을 분석하는 데 사용된다. 나노다공성 물질에서는 공극의 기하학적 유사도를 TDA로 정량화하여 물질을 분류하거나 후보 물질을 선별할 수 있다.[36] 유리, 고분자, 비정질 고체처럼 장거리 결정성이 약한 물질에서도 국소 구조와 물성 사이의 관계를 설명하는 도구가 될 수 있다.[37]

분자과학에서는 원자 좌표, 원자 종류, 전하, 결합 구조 등을 이용해 단백질이나 리간드의 위상적 특징을 계산한다. 이러한 특징은 단백질 안정성, 단백질-리간드 결합 친화도, 가상 스크리닝, 분자 표현 학습 등에 사용될 수 있다.[38]

네트워크 분석에서는 그래프의 거리, 가중치, 클리크 복체, 플래그 복체 등을 이용해 네트워크의 위상적 구조를 분석한다. 소셜 네트워크, 뇌 연결망, 생물학적 상호작용망, 교통망에서 연결 성분, 순환 구조, 커뮤니티 사이의 연결을 요약하는 데 쓸 수 있다. 다만 그래프에서 어떤 여과를 선택하느냐에 따라 결과가 크게 달라지므로 문제에 맞는 거리와 가중치 해석이 중요하다.

TDA 계산에는 여러 오픈소스 라이브러리가 사용된다.

* GUDHI: C++와 Python 인터페이스를 제공하며 Vietoris-Rips, 체흐, alpha, cubical complex 등 다양한 복체와 지속적 호몰로지 계산을 지원한다.[39]
* Ripser 및 Ripser.py: Vietoris-Rips 지속성 계산에 특화된 빠른 구현이다. Python에서 거리 행렬이나 점군을 입력하여 퍼시스턴스 다이어그램을 계산할 수 있다.[40]
* giotto-tda: scikit-learn 방식의 API를 제공하여 TDA 전처리, 퍼시스턴스 다이어그램, 벡터화, 기계학습 파이프라인을 연결하기 쉽게 만든 Python 라이브러리이다.[41]
* KeplerMapper: 매퍼 알고리즘을 Python에서 구현한 라이브러리이다. 고차원 데이터와 3차원 점군 데이터를 그래프 형태로 시각화하는 데 사용된다.[42]
* Dionysus: 지속적 호몰로지 계산을 위한 C++ 라이브러리이며 Python 바인딩도 제공한다.[43]
* Topology ToolKit: 과학적 시각화에서 쓰이는 TDA 도구 모음이다. contour tree, Reeb graph, Morse-Smale complex, persistence diagram 등 스칼라장 기반 위상 분석에 강점이 있다.[44]

실제 분석에서는 보통 다음과 같은 순서로 계산한다.

1. 데이터 전처리와 거리 함수 선택
2. 점군, 그래프, 이미지, 시계열 등 입력 형식 결정
3. Vietoris-Rips, alpha, cubical, witness complex 등 여과 선택
4. 지속적 호몰로지 계산
5. 바코드 또는 퍼시스턴스 다이어그램 확인
6. 퍼시스턴스 이미지, 랜드스케이프, 베티 곡선 등으로 벡터화
7. 통계 검정, 군집화, 분류, 회귀, 시각화에 사용

TDA는 데이터의 전역적 구조를 요약하는 강력한 방법이지만, 만능의 분석법은 아니다. 첫째, 거리 함수와 여과 방식의 선택이 결과에 큰 영향을 준다. 유클리드 거리가 부적절한 데이터에서 단순한 Rips 복체를 만들면 의미 없는 구조가 나올 수 있다. 둘째, 파라미터 선택이 쉽지 않다. 매퍼의 덮개 개수와 겹침 비율, UMAP의 이웃 수, 지속적 호몰로지의 최대 차원과 cutoff 등은 결과의 모양을 크게 바꾼다.

셋째, 계산 비용이 크다. 특히 Vietoris-Rips 복체는 차원이 올라갈수록 단체 수가 급격히 늘어나므로 큰 점군에서는 그대로 계산하기 어렵다. 넷째, 해석 가능성에는 도메인 지식이 필요하다. 퍼시스턴스 다이어그램의 긴 막대나 매퍼 그래프의 가지가 수학적으로는 의미 있는 구조일 수 있지만, 그것이 실제 생물학적·의학적·물리적 현상과 연결되는지는 별도의 검증이 필요하다.

다섯째, 시각화 결과를 과도하게 해석하면 안 된다. t-SNE, UMAP, Mapper는 데이터 구조를 이해하는 데 유용하지만, 파라미터와 전처리에 따라 결과가 크게 달라질 수 있다. 저차원 그림에서 보이는 군집 간 거리, 군집 크기, 빈 공간이 원래 고차원 데이터의 실제 구조를 그대로 의미한다고 단정할 수는 없다.

따라서 TDA 결과는 보통 단독 결론이 아니라 가설 생성, 데이터 탐색, 특성 추출, 모델 해석을 위한 도구로 쓰는 것이 적절하다. 좋은 TDA 연구는 위상적 특징을 계산하는 데서 끝나지 않고, 기존 방법과의 비교, 파라미터 안정성 분석, 통계적 검정, 외부 데이터 검증, 분야 전문가의 해석을 함께 제시한다.

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* 위상수학
* 기하학
* 호몰로지
* 거리공간
* 통계학
* 기계학습
* 주성분 분석
* 그래프 이론