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마르코프 부등식

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Inequalities
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코시-슈바르츠 부등식
산술·기하 평균 부등식
(an)(bn)≥(anbn)\left({a_n})({b_n}\right)\ge\left({a_n}{b_n}\right)
an+bnn≥anbnn\frac{a_n+b_n}{n}\ge\sqrt[n]{{a_n}{b_n}}
젠센 부등식
영 부등식
λnf(xn)≥f(λnxn)\lambda_n f\left(x_n\right)\ge f\left({\lambda_n}{x_n}\right)
ab≤app+bqqab \leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}
횔더 부등식
민코프스키 부등식
∥fg∥1≤∥f∥p∥g∥q\|fg\|_1\le\|f\|_p\|g\|_q
∥f+g∥p≤∥f∥p+∥g∥p\|f+g\|_p\le\|f\|_p+\|g\|_p
마르코프 부등식
체비쇼프 부등식
E(X)k≥P(X≥k)\frac{E(X)}k\ge{\rm P}(X\ge k)
P(∣X−μ∣<kσ)≥1−1k2P(|X-\mu|<k\sigma)\geq1-\frac1{k^2}
슈르 부등식
a(x−y)(x−z)+b(y−z)(y−x)+c(z−x)(z−y)≥0a\left(x-y\right)\left(x-z\right)+b\left(y-z\right)\left(y-x\right)+c\left(z-x\right)\left(z-y\right)\geq0
합 기호는 아인슈타인 합 규약을 일부 사용해 단축하였다.
 
 
 
 
통계학
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1. 개요2. 상세3. 관련 문서
 
 
 
 

1. 개요[편집]

 
 
 
 
Markov inequality, Markov 不等式

확률론의 절대부등식의 하나이다. 이름의 유래는 러시아의 수학자 안드레이 마르코프(Markov, 1856~1922)이다.
 
 
 
 

2. 상세[편집]

 
 
 
 
음이 아닌 확률변수 XX와 양수 cc에 대하여

P(X≥c)≤E[X]cP(X \geq c)\leq \dfrac{\mathbb{E}[X]}{c}
다음과 같이 증명한다.

E[X]≥E[X1{X≥c}]≥c⋅P(X≥c) \mathbb{E}[X] \ge \mathbb{E}[X \mathbb{1}_{\{X \ge c\}}] \ge c \cdot P(X \ge c)

이를 쉽게 쓰면 다음과 같다.

E(X)=∫−∞∞xf(x)  dx=∫0∞xf(x)  dx(∵P(X<0)=0)=∫0cxf(x)  dx+∫c∞xf(x)  dx≥∫0cxf(x)  dx+c∫c∞f(x)  dx(∵X≥c)≥c∫c∞f(x)  dx≥cP(X≥c)\begin{aligned}E(X)&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\;{\rm d}x=\int_0^{\infty}xf(x)\;{\rm d}x\quad(\because{\rm P}(X<0)=0)\\&=\int_0^cxf(x)\;{\rm d}x+\int_c^{\infty}xf(x)\;{\rm d}x\\&\geq\int_0^cxf(x)\;{\rm d}x+c\int_c^{\infty}f(x)\;{\rm d}x\quad(\because X\geq c)\\&\geq c\int_c^{\infty}f(x)\;{\rm d}x\geq c{\rm P}(X\geq c)\end{aligned}

∴E(X)c≥P(X≥c)\therefore\dfrac{E(X)}c\geq{\rm P}(X\geq c)

이는 XX가 연속확률변수일 경우이고, 이산확률변수일 경우에는 ∫\int을 ∑\sum로 바꾸기만 하면 된다.

한편, 음이 아닌 값을 가지는 증가하는 가측함수 φ:R→R≥0\varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}_{\geq 0}를 사용하여 다음과 같이 확장시킬 수 있다.
확률변수 XX와 실수 cc에 대하여

P(X≥c)≤E[φ(X)]φ(c)P(X\geq c)\leq \dfrac{\mathbb{E}[\varphi(X) ]}{\varphi(c)}

다음과 같이 증명한다.

E[φ(X)]≥E[φ(X)1{φ(X)≥φ(c)}]≥E[φ(X)1{X≥c}]≥φ(C)⋅P(X≥c)\begin{aligned}\mathbb{E}[\varphi(X) ]& \geq \mathbb{E}[\varphi(X) \mathbb{1}_{\{ \varphi (X) \geq \varphi(c)\}}]\\& \geq \mathbb{E}[\varphi(X) \mathbb{1}_{\{X \geq c\}}] \\& \geq \varphi(C) \cdot P(X \geq c)\end{aligned}

두 번째 부등식은 φ\varphi가 증가함수라는 것에 의해 성립한다. 이 부등식에서 확률변수를 X−E[X]X-\mathbb{E}[X], φ:x→x2\varphi:x\rightarrow x^2으로 놓아 체비쇼프 부등식을 증명할 수 있다.
 
 
 
 

3. 관련 문서[편집]

 
 
 
 

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