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전체 확률의 법칙

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1. 개요2. 정리 유도3. 관련 문서
 

1. 개요[편집]

 
전체 확률의 법칙(law of total probability) 또는 전확률 정리는 조건부 확률과 관계된 법칙이다. 조건부 확률로부터 조건이 붙지 않은 확률을 계산할 때 쓸 수 있다. 또한 베이즈 정리 공식의 일부에 전확률 정리 공식이 들어간다.

사상(집합) AA는 사상 BB의 부분 사상이고, 사상 BB를 서로 배반하는 사상 B1,B2,⋯ ,BkB_1, B_2, \cdots, B_k로 나눌 수 있을 때 전확률 공식이 성립한다.

간단히 2개인 경우를 벤 다이어그램으로 나타내어 생각하면 다음과 같다.

전체 확률의 법칙
P(A)=P(A∩B)=P(A∩B1)+P(A∩B2)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)\begin{aligned}&P(A)\\ =& P(A \cap B)\\ =& P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2)\\ =& P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2)\end{aligned}
 

2. 정리 유도[편집]

 
조건 1. BiB_i들은 상호 배타적임. (Bi∩Bj=∅(i≠j) B_i \cap B_j = \varnothing (i \neq j))
조건 2. BiB_i들의 합집합은 전체 표본공간임. (B1∪B2∪...∪Bn=ΩB_1 \cup B_2 \cup ... \cup B_n = \Omega )
P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+⋯=∑i=1nP(A∩Bi)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+⋯=∑i=1nP(A∣Bi)P(Bi)\begin{aligned}P(A)&= P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2) +\cdots\\&= \sum_{i=1}^n P(A \cap B_i)\\&= P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + \cdots \\&= \sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)\end{aligned}
 

3. 관련 문서[편집]

 

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