체비쇼프 부등식

최근 수정 시각: 2026-07-13 15:32:49

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토론 역사

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절대부등식
Inequalities

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코시-슈바르츠 부등식	산술·기하 평균 부등식
$\left({a_n})({b_n}\right)\ge\left({a_n}{b_n}\right)$	$\frac{a_n+b_n}{n}\ge\sqrt[n]{{a_n}{b_n}}$
젠센 부등식	영 부등식
$\lambda_n f\left(x_n\right)\ge f\left({\lambda_n}{x_n}\right)$	$ab \leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$
횔더 부등식	민코프스키 부등식
$\\|fg\\|_1\le\\|f\\|_p\\|g\\|_q$	$\\|f+g\\|_p\le\\|f\\|_p+\\|g\\|_p$
마르코프 부등식	체비쇼프 부등식
$\frac{E(X)}k\ge{\rm P}(X\ge k)$	$P(\|X-\mu\|<k\sigma)\geq1-\frac1{k^2}$
슈르 부등식
$a\left(x-y\right)\left(x-z\right)+b\left(y-z\right)\left(y-x\right)+c\left(z-x\right)\left(z-y\right)\geq0$
합 기호는 아인슈타인 합 규약을 일부 사용해 단축하였다.

통계학
Statistics

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기반 학문
확률론 · 측도론 · 선형대수학 · 미분적분학 · 해석학 · 이산수학
추론 통계학	수 리 통 계 학	기본 단위	공리 확률 공간 · 사건 · 가능성
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		확률론	변수 독립항등분포 · 확률 변수(이산 확률 변수 · 연속 확률 변수 · 혼합 확률 변수) · 확률질량함수 · 확률밀도함수
			분포 확률 분포 (표본 분포 · 정규 분포 · 이항 분포 · 푸아송 분포 · 카이제곱분포 · t분포 · Z분포 · F-분포 · 결합확률분포)
			정리 전체 확률의 법칙 · 베이즈 정리 · 도박사의 오류 · 도박꾼의 파산 · 몬티 홀 문제 · 뷔퐁의 바늘 · 마르코프 부등식 · 체비쇼프 부등식 · 큰 수의 법칙 (무한 원숭이 정리) · 중심극한정리 · 벤포드의 법칙
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		방법론	빈도주의 회귀 분석 · 최소제곱법 · 분산 분석 · 비모수통계학 주성분 분석(요인 분석) 시계열 분석 · 패널 분석 · 생존 분석 · GARCH · 2SLS · 준모수통계학 · 메타 분석 · 외삽법
			베이즈주의 기계학습 (군집 분석 · 분류 분석) · 위상 데이터분석· 모델링 (구조방정식
기술 통계학	도표 (그림그래프 · 막대그래프 · 선 그래프 · 원 그래프 · 상자 수염 그림 · 줄기와 잎 그림 · 산포도 · 산점도 · 히스토그램 · 도수분포표) · 그래프 왜곡 · 이상점

1. 개요2. 증명3. 기타

2. 증명[편집]

지시함수의 활용으로 다음처럼 증명할 수 있다.

\begin{aligned} P[|X-\mu|\ge k\sigma] &= \mathbb{E} [ 1_{|X-\mu|\ge k \sigma} ] \\&\le \mathbb{E} \left[ \mathbf{1}_{|X-\mu| \ge k \sigma} \cdot \frac{|X-\mu|^2}{k^2 \sigma^2} \right] \\ &\le \frac{1}{k^2 \sigma^2} \mathbb{E} [ |X-\mu|^2 ] \\&= \frac{1}{k^2} \end{aligned}

연속확률변수에 대해서 비슷한 아이디어의 증명을 다음과 같이 풀어쓸 수 있다. 확률 분포의 평균을

\mu

, 표준편차를

\sigma

, 함수를

f(x)

라 하면

\begin{aligned}\sigma^2&=E[(X-\mu)^2]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)\,{\rm d}x\\&=\int_{-\infty}^{\mu-k\sigma}(x-\mu)^2f(x)\,{\rm d}x+\int_{\mu-k\sigma}^{\mu+k\sigma}(x-\mu)^2f(x)\,{\rm d}x+\int_{\mu+k\sigma}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)\,{\rm d}x\\&\geq\int_{-\infty}^{\mu-k\sigma}(x-\mu)^2f(x)\,{\rm d}x+\int_{\mu+k\sigma}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)\,{\rm d}x \quad \biggl(\because\int_{\mu-k\sigma}^{\mu+k\sigma}(x-\mu)^2f(x)\,{\rm d}x\geq 0\biggr) \end{aligned}

[2]

한편

(x-\mu)^2\geq k^2\sigma^2\,(\leftrightarrow\,x\leq\mu-k\sigma\,\textsf{or}\,x\geq\mu+k\sigma)

일 때는 다음이 성립한다.

\begin{aligned}\sigma^2&\geq\displaystyle\int_{-\infty}^{\mu-k\sigma}(x-\mu)^2f(x)\,{\rm d}x+\int_{\mu+k\sigma}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)\,{\rm d}x\\&\geq\int_{-\infty}^{\mu-k\sigma}k^2\sigma^2f(x)\,{\rm d}x+\int_{\mu+k\sigma}^{\infty}k^2\sigma^2f(x)\,{\rm d}x\end{aligned}

양 끝 식을

k^2\sigma^2

으로 나누면

\begin{aligned}\dfrac1{k^2}\geq\displaystyle\int_{-\infty}^{\mu-k\sigma}f(x)\,{\rm d}x&+\int_{\mu+k\sigma}^{\infty}f(x)\,{\rm d}x \quad (\because k^2\sigma^2\geq 0)\end{aligned}

f(x)

는 확률밀도함수이기 때문에

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,{\rm d}x=1

이므로

\begin{aligned}1-\dfrac1{k^2}\leq\displaystyle\int_{\mu-k\sigma}^{\mu+k\sigma}f(x)\,{\rm d}x&=P[\mu-k\sigma\leq X\leq\mu+k\sigma]\\&=P[|X-\mu|<k\sigma]\end{aligned}

3. 기타[편집]

확률변수가 $1/(2k^2)$ 의 확률로 값 $\mu \pm k\sigma$ 를 가지고, 나머지 확률로 값 $\mu$ 를 가지면 등호가 성립한다.

체비쇼프 부등식은 다양한 확률부등식의 기초이긴 하지만 실전에선 최약체(...)로 평가받는데, 확률론을 조금만 배우면 Hoeffding's inequality, Chernoff bound 등 훨씬 강한 유계를 주는 확률부등식들을 배우기 때문이다. 물론 모든 확률분포에 대해 성립하는 범용적인 부등식이 강력한 유계를 줄 수 있을 리도 없고, 실전에선 주로 등장하는 모종의 확률변수에 한정적으로 적용되는 특별한 부등식을 개발해 쓰는 것이니 이는 당연하다. 오히려 이런 대부분의 확률부등식들을 증명하기 위해서 이 체비쇼프 부등식과 젠센 부등식이 기본으로 사용되고, 이 둘의 역할을 서로 다른 것으로 대체할 수 없다는 점 때문에[3] 중요성이 꽤나 큰 부등식이다.

$L^p$ -공간 버전으로 다음과 같은 일반화를 생각할 수 있다. 이때 체비쇼프 부등식은 $p=2$ , $z=k\sigma$ 인 경우이다.

\begin{aligned}P[|X-\mu| \ge z] \le \frac{\|X-\mu\|_p}{z^p} \end{aligned}

경시대회 등에 주로 등장하는 체비쇼프 합 부등식과는 다르다.
프란체스코 파올로 칸텔리가 이 부등식을 이용해 한 쪽만 알고 싶을 때 사용할 수 있는 부등식을 정리했다.

[1] 영어권에서 표기법이 중구난방인 이름 중 하나로 꼽힌다. 과거 표기법 중에 Cheyshev, Tchebychef, Tschebyscheff 등등 다 있다. 한국어로 옮길 때 체비셰프, 체비쉐프 등으로 잘못 전사되는 일도 많은 편. 이 만악의 근원은 Ё/ё라는 키릴 문자로 해당 문자의 역사적 연원과 표기의 불편함 때문에 트레마(¨)가 없는 Е/е로 표기하는 경우가 많다. 하지만 엄연히 이 둘은 서로 다른 문자로, 전자는 IPA로 [jɵ] 발음이 나서 외래어 표기법에서 'ㅛ'로 옮기지만 후자는 [je] 발음이라 'ㅖ'로 옮긴다. 러시아인 입장에서는 맥락으로 구분이 가능하다고 하지만 고유명사는 러시아인들조차 얄짤없이 외워야 한다.[2]

\displaystyle\int_{\mu-k\sigma}^{\mu+k\sigma}f(x)\,{\rm d}x

는 확률의 값이므로 0 이상이고

(x-\mu)^2\geq 0

이므로

\displaystyle\int_{\mu-k\sigma}^{\mu+k\sigma}(x-\mu)^2f(x)\,{\rm d}x\geq 0

이다.[3] 확률변수

X

에 대한 정보로

f(X)

에 대한 부등식을 이끌어낸다고 생각할 때, 체비쇼프 부등식은

f(x) = \mathbf{1}_{|x-\mu|>k \sigma}

의 경우로 간주할 수 있지만, 저 계단 함수는 볼록이 아니다. 즉, 체비쇼프 부등식은 이런 유형의 문제에서 젠센 부등식과는 본질적으로 다른 접근을 취한다고 볼 수도 있다.

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체비쇼프 부등식

1. 개요[편집]

2. 증명[편집]

3. 기타[편집]