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몬티 홀 문제

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파일:나무위키+유도.png   스타크래프트 맵에 대한 내용은 몬티홀(스타크래프트) 문서를 참조하십시오.


Monty Hall problem

1. 소개2. 바꾸는 쪽이 더 높은 이유는?
2.1. 설명12.2. 설명22.3. 설명32.4. 설명42.5. 설명52.6. 설명 62.7. 기타 다른 설명
3. 사람들의 오해4. 확률의 정의5. 대중 매체에서의 등장6. 참고
6.1. 편견 있는 몬티
6.1.1. 사반트가 받은 질문에 대한 답

1. 소개[편집]


몬티 홀이라는 미국/캐나다 TV 프로그램 사회자가 진행하던 미국 오락 프로그램 《Let's Make a Deal》에서 유래한 확률 문제. 너무 유명해져서 구글에 몬티 홀이라고 검색해도 사람 대신 문제가 먼저 나올 정도다. 최초로 수학 문제로서 제시된 것은 1975년의 일이고, 메릴린 보스 사반트가 1990년에 《퍼레이드》라는 잡지의 독자의 질문을 해결해주는 칼럼 '사반트에게 물어보세요'에서 이 문제를 다루면서 유명해졌다. 아래의 원문은 해당 칼럼에 실린 문제를 그대로 가져온 것이며, 상품의 종류 등의 디테일은 조금씩 바뀐다.

Suppose you’re on a game show, and you’re given the choice of three doors. Behind one door is a car, behind the others, goats. You pick a door, say #1, and the host, who knows what’s behind the doors, opens another door, say #3, which has a goat. He says to you, "Do you want to pick door #2?" Is it to your advantage to switch your choice of doors?

당신이 한 게임 쇼에 참여하여 세 문들 중 하나를 고를 기회를 가졌다고 생각해봐라. 한 문 뒤에는 자동차가 있으며, 다른 두 문 뒤에는 두문 다 염소가 있다. 당신은 1번 문을 고르고, 문 뒤에 무엇이 있는지 아는 사회자는 염소가 있는 3번 문을 연다. 그는 당신에게 "2번 문을 고르고 싶습니까?"라고 묻는다. 당신의 선택을 바꾸는 것은 이득이 되는가?

대부분의 사람들의 직관적인 생각에서는 선택을 바꾸든 바꾸지 않든 확률은 똑같이 1/2일 것이다. 당신이 최초에 한 선택 뒤에 염소가 있든 승용차가 있든, 염소가 있는 문은 한 개 또는 두 개가 남아있을 것이다. 사회자는 그걸 열면 그만이고, 남은 문은 무조건 염소 아니면 승용차일 테니 바꾸나 바꾸지 않으나 똑같을 것이다. 덧붙여 대부분의 사람들은 그냥 원래 선택을 유지하는 경우가 많은데, 괜히 바꿨다가 원래 선택한 문에 승용차가 있었으면 정말 억울하기 때문이다. 심리학적으로 사람은 이득보다 손해에 민감하게 반응하기 때문에.

이 문제의 정답은 바꾸는 경우가 승용차를 얻을 확률이 2/3라서 더 유리하다.

정확히는 처음에 고른 문이 염소일 확률이 더 높은건 당연한건데 사회자가 다른 염소를 하나 더 공개했으니 본인도 사회자도 고르지 않은 나머지 문 하나가 정답일 확률이 높으므로 바꿔야 더 유리하다. 단, 당신이 처음 고른 문이 자동차든 염소든 간에 사회자가 기계적으로 하나의 염소를 보여준다는 전제가 미리 정해져 있어야만 한다. 사실 당신이 자동차를 골랐을 때만 사회자가 염소를 보여주며 유혹하는 시스템이라면, 이건 확률 게임이라기보다는 사기극에 가깝다.

1/2가 아니라 2/3이 되는 이유에 대해서 직관적으로 이해가 되지 않는다고 좌절하지 말자. 이 문제가 대중적으로 가장 화제가 되었던 1990년도에 기네스 북에 높은 IQ로 등재된 보스 사반트의 칼럼 '사반트에게 물어보세요'에서 사반트가 이 문제에 대한 정답(2/3)을 제시했을 때 약 만 통의 편지를 받았고 그 중 약 천 통은 수학이나 공학에서 박사학위를 가진 사람들이 틀린 답에 항의하는 내용의 편지였다. #

사실 이 문제도 해답을 보기 전까진 대부분의 사람들은 직관적으로 선택을 유지하든 바꾸든 직관적으로 50%의 확률이라고 생각해버린다. 해답을 보고 '논리적으로' 이해는 했음에도 여전히 직관적으로는 왜 50%의 확률이 아닌지 쉽게 납득하지 못하는 경우도 많을 정도로 인간의 직감과 논리가 많이 동떨어져 있다는 걸 보여주는 예시기도 하다.

이처럼 몬티홀 문제는 답이 1/2이냐 2/3이냐에 대한 논쟁으로 대중들에게 많이 알려졌다. 답이 2/3인 것으로 판명이 난 이후에도 악마 몬티(Monty from Hell), 천사 몬티(Angelic Monty), 편견 있는 몬티[1]와 같이 사회자의 태도에 조건을 추가하거나 몬티홀 문제를 게임 이론과 접목시켜 새로운 형태로 만들어내는 등 기존 문제에 대해 다양한 파생 문제들이 만들어지기도 했다. 이에 대해 본 문서에서는 기존의 "고전적인 몬티홀 문제"를 다루고 있다.

일반적으로 몬티홀 게임은 다음의 룰을 통해 진행된다.

  • 문 3개가 있는데 한 문 뒤에는 자동차가 있고 나머지 두 문 뒤에는 염소가 있다. 참가자는 이 상황에서 문을 하나 선택하여 그 뒤에 있는 상품을 얻는다.

  • 참가자가 어떤 문을 선택하면 사회자는 나머지 두 문 중에 염소가 있는 문 한 개를 열어 참가자에게 그 문에 염소가 있다고 확인시켜준다. 이때 나머지 두 문 뒤에 염소가 있으면 사회자는 임의로 한 문을 열어준다.

  • 그 후 사회자는 참가자에게 선택한 문을 닫혀있는 다른 문으로 선택을 바꿀 기회를 준다.


고전적인 몬티홀 문제는 이 게임을 수학적으로 풀기 위해 다음과 같은 전제를 사용한다.

  • 사회자는 자동차가 어느 문 뒤에 있는지 알고 있다.[2]

  • 사회자는 염소가 들어 있는 문을 임의로 선택한다.[3]

이 전제가 달라지면 문제의 정답이 전혀 달라지게 된다. 일례로 사회자가 자동차가 어디에 있는지 모르고서 문을 열었는데 염소가 나왔다면, 참가자가 선택을 바꿨을 경우의 확률이 1/2가 된다.

전문적인 문제의 정의와 풀이, 이를 이용한 변형 문제 등과 관련해서는 이 논문 혹은 영문 위키피디아를 참고바란다.

2. 바꾸는 쪽이 더 높은 이유는?[편집]

몬티 홀 딜레마에서 가장 중요하게 생각해야 하는 것은, 이때의 확률은 문을 바꿨을 경우 vs 문을 안 바꿨을 경우에 해당한다는 것이다. 애초에 처음부터 하나의 문이 열려 있고, 나머지 두 문 중 하나를 선택해야 하는 것이라면 확률은 50%가 맞다. 즉 양자택일의 행위가 아닌, 문을 바꾸는 행위(정확히는 내가 하나의 문을 선택하고 있음으로써 사회자가 꽝 문을 열 때 내가 선택했던 문을 열지 못함으로써 변동하는 확률)에서 파생되는 확률이 66.6%인 것이므로 둘은 엄연히 다르다. 이 미묘한 차이를 직관적으로 이해하기가 힘들기 때문에 착오가 벌어지는 것이라고 이해해야 한다. 즉,확률의 조건이 되는 사건 두 개(첫번째 선택과 두 번째 선택)가 얽히느냐, 얽히지 않느냐에 따라 확률이 변동하는 것이다.

직관적으로 이해하기에 양자택일과 문을 바꾸는 행위간에 확률에 차이가 있다는 것이 이해가 쉽지 않다. 다른 것은 놔두고 문을 선택한다는 '사실'만 두고 보면 두 행위는 같은 것이기 때문이다. 때문에 확률도 동일하다고 착각하기가 쉽다.

직관적으로 정리를 하자면,
만약 처음에 오답을 골랐다면 사회자가 오답인 다른 문을 열었을 때 무조건 바꿔야 정답이 나온다.
이 경우 처음에 오답을 고를 확률은 두 오답 중 하나, 2/3이다.
그러나 처음에 정답을 골랐다면 사회자가 오답인 다른 문을 열었을 때 바꿔도 정답이 아닐 수 있다. 사회자는 알지만 도전자인 본인은 정답을 처음에 골랐어도 알 방법이 없기 때문.

그렇기에 이 두 경우를 합쳐볼 경우 바꾸면 2/3, 바꾸지 않으면 원래 확률인 1/3로 정답이 나온다는 것. 여러 가지 방법으로 자세한 설명은 하단에 후술.

2.1. 설명1[편집]

직관에 따르면 이렇게 전개된다.

  • 맨 처음 자신이 선택한 문이 정답일 확률: 맨 처음 자신이 고른 것은 뭐가 정답이고 뭐가 꽝인지 모르는 3개의 문중에서 1개를 선택한 것이기 때문에 그것이 정답일 확률은 1/3이다.

  • 사회자가 정답이 아닌 문을 공개한 후, 자신이 선택하지 않은 남은 문이 정답일 확률: 하지만 사회자가 정답이 아닌 문 즉 꽝인 문을 1개 공개해버리면, 남은 문은 2개가 된다. 따라서 자신이 선택하지 않은 남은 문은 정답일 확률이 1/2이다.

고로 맨 처음 자신이 선택한 문이 정답일 확률은 1/3이지만, 사회자가 정답이 아닌 문을 공개한 후 자신이 선택하지 않은 남은 문이 정답일 확률은 1/2이다. 여기서 문제가 발생한다. 확률의 총합은 1이 되어야 하는데, 직관대로 흘러가면 총합이 5/6밖에 안된다.

여기서 사람들이 헷갈려 하는 것이, '사회자가 정답이 아닌 문을 공개한 순간'부터 맨 처음 자신이 선택한 문이 정답일 확률도 똑같이 2분의 1이 된것이 아니냐고 생각한다. 사람들이 이러한 논리적인 오류를 범하는 이유는 자신이 맨 처음 어떤 문을 선택했느냐에 따라 사회자가 공개하는 문이 달라진다라는 것을 간과하기 때문이다. 정확히는 바꾼 문이 정답일 확률이 아니라 내가 처음에 고른 문이 오답일 확률이라고 말하는 게 더 직관적이라고 할 수 있다.

만약 내가 선택을 한 뒤 사회자가 정답이 아닌 문을 공개하는게 아니라, 맨 처음부터 정답이 아닌 문을 공개하고 2개의 문중 하나를 선택한다면 확률은 완벽하게 1/2이다. 하지만 중요한 점은 내가 맨 처음에 골랐을때 확률이 1/3이었다는 것이다. 그럼 내가 고르지 않은 나머지 두문에 차가있을 확률은 2/3이다. 그중 하나의 문을 열어도 그 두문중에 차가있을 확률은 여전히 2/3이다.

2.2. 설명2[편집]

파일:Monty_Hall_a.gif
위 사진은 '정답이 아닌 것이 공개된 후 반드시 선택을 바꾼다'는 전제하에 가능한 경우의 수들이다. 선택1은 맨 처음부터 정답을 고른 경우, 선택2,3은 맨 처음에 정답이 아닌 것을 고를 확률이다.

그리고 선택을 바꾼 결과를 보면 알겠지만, '맨 처음 정답을 선택했을 시'(선택1)에 선택을 바꾸면 최종적으로는 정답이 아닌 것을 선택하여 꽝이다. 하지만 '맨 처음 꽝을 선택했을 시'(선택2,3)에 선택을 바꾸면 최종적으로는 정답인 것을 선택하게 된다.

즉 아이러니하게도 반드시 선택을 바꾼다는 전제하에는, 처음에 정답을 골랐으면 최종적으로 꽝, 처음에 꽝을 골랐으면 최종적으로 정답이 된다. 그렇다면 처음에 꽝을 골라야 하며, 그 확률은 2/3다. 반대로 처음 선택을 유지한다면 반드시 처음에 제대로 골라야 한다. 이 경우 처음에 정답을 고를 확률은 1/3이며, 맞힐 확률도 1/3이 된다.

정리하면 맨 처음 정답을 고를 확률(1/3)보다 맨 처음 꽝을 고를 확률(2/3)이 더 높으니, 반드시 선택을 바꾸는 쪽이 더 유리하다.

2.3. 설명3[편집]

이를 확률론적으로 설명하는 방법으로는 베이즈 정리를 이용하는 방법이 있다.

참가자가 고른 문을 A, 나머지 두 문을 B와 C라고 하고, 사회자가 열어준 문을 C라고 하자. 그리고 "사회자가 C 문을 열어주고 염소가 있음을 보여주는 사건 = 염소가 있는 문을 열어주기 위해 문 하나를 골랐을 때 그 문이 C인 사건"을 D라고 하자. 우리가 구하고자하는 것은 사건 D가 일어난 상태에서 A 문에 자동차가 있는 사건(이하 사건 A)의 조건부 확률, 즉 P(AD)\displaystyle P(A|D)이다. 이제 베이즈 정리에 따라 해당 사건의 역사건, 즉 어떤 문 X 안에 자동차가 있을 때 사회자가 C 문을 여는 사건(D|X)을 생각해보자.

사회자는 A 문을 열 수 없고 B, C 중 하나만을 고를 수 있으며, 염소가 있는 문을 열어줘야 한다는 목적이 있는 상태이므로 각각의 확률은 이하와 같다.

  • 만약 자동차가 A에 있다면 사회자는 B와 C문 중 하나를 골라 열어줄 것이다. 2가지 선택지 중 하나를 무작위로 고르는 확률이므로 P(DA)=12\displaystyle P(D|A) = {1 \over 2}.

  • 만약 자동차가 B에 있다면 사회자는 A, B문을 열 수 없으므로 C문을 열 수밖에 없다. 즉 P(DB)=1\displaystyle P(D|B) = 1.

  • 만약 자동차가 C에 있다면 사회자가 C문을 여는 일은 일어날 수 없다. 즉 P(DC)=0\displaystyle P(D|C) = 0.


베이즈 정리에 의해 어떤 조건부 사건이 일어날 확률은 모든 역사건의 가짓수 중 해당 사건의 역사건이 일어날 확률과 같다. 따라서

P(AD)=P(DA)P(DA)+P(DB)+P(DC)=0.50.5+1+0=13\displaystyle P(A|D) = {P(D|A) \over P(D|A) + P(D|B) + P(D|C)} = {0.5 \over 0.5 + 1 + 0} = {1 \over 3}
P(BD)=P(DB)P(DA)+P(DB)+P(DC)=10.5+1+0=23\displaystyle P(B|D) = {P(D|B) \over P(D|A) + P(D|B) + P(D|C)} = {1 \over 0.5 + 1 + 0} = {2 \over 3}

가 되어 B에 차가 있을 확률이 2배 더 높다.

2.4. 설명4[편집]

파일:몬티홀 100 4.jpg
사실 위의 설명들은 논리적으로 이해된다 하더라도 사실 많은 사람들이 문이 단 2개만 남겨진 시점에서 어떻게 50% 50%가 되지 않는지 '논리'론 이해해도 아직 '직감'으로 와닿지 않은 경우가 많다. 하지만 문이 3개가 이니라 100개라고 비유하면 직관으로 납득하기 더 편하다. 문이 100개가 있으며 정답인 문은 1개 뿐이다. 자신이 맨 처음 100개중 하나를 선택했을때 그것이 정답일 확률은 당연히 100분의 1의 확률로 그다지 큰 확률이 아니다. 하지만 사회자가 자신이 선택하지 않은 99개의 문중 총 98개의 문을 열어서 꽝임을 보여주고 1개의 문은 비공개 해두었다. 현재 닫혀있는 문은 총 2개, 자신이 맨 처음 선택한 문과 사회자가 열지 않았던 문 1개이다.

  • 내가 맨 처음 정답을 골랐을 경우 - 사회자는 어차피 나머지 99개의 문 모두 꽝이므로 아무거나 98개를 열고 아무거나 1개로 남겨두면 그만이다. 고로 내가 선택하지 않은 닫혀있는 나머지 1개의 문은 어차피 꽝이다.

  • 맨 처음 꽝을 골랐을 경우 - 사회자는 어떤 문이 정답인지 알고있기에 99개의 문중 반드시 정답인 1개의 문을 닫고 꽝인 98개의 문을 오픈해야한다. 고로 내가 선택하지 않은 닫혀있는 나머지 1개의 문은 정답인 문이다.

이 경우 당연히 사회자가 열지 않았던 문 1개가 정답일 확률이 압도적으로 높다. 왜냐하면 내가 맨 처음 꽝을 골랐을 확률이 압도적으로 높으니까.[4]

몬티홀 문제의 핵심은 바로 반드시 최종적으로 단 2개의 문만을 남겨둔다는 점이다. 따라서 반드시 선택을 바꾼다는 전제하에는 '맨 처음 정답을 골랐다면 선택을 바꿀시 꽝'이고 '맨 처읍 꽝을 골랐다면 선택을 바꿀시 정답'이 되어버린다. 따라서 문이 100개면 문이 3개일때보다 꽝을 고를 확률이 더 높아지므로 선택을 바꿀시 최종적으로 정답일 확률이 더 높은 것.

고로 문이 3개인 몬티홀 문제 역시 맨 처음 꽝을 고를 확률이 2/3로 맨 처음 정답을 고를 확률인 1/3보다 높다.

참고로 보스 사반트는 100개의 문 보다 스케일이 훨씬 큰 100만 개의 문으로 설명했다.

2.5. 설명5[편집]

확률 계산은 이해하더라도 사람들이 가장 많이 헷갈려 하는 것 중 하나는 왜 이러한 차이가 생겼느냐이다. 비유를 통해 이해할 수는 있지만 직관적으로 와닿지 않는 것이다. 이 차이를 명시적으로 설명하자면(본 예시는 문 3개를 기준으로 함):

  • 사회자가 문 1개를 열어 남은 문 중 1개를 고를 때: 이 경우에는 2개의 문 중 1개를 고르면 된다. 따라서 이견의 여지가 없이 50%이다.

  • 문 1개를 고른 뒤 사회자가 1개를 열어 변경이 가능할 때: 이 때는 사회자가 참가자가 선택한 문을 열 수 없다. 예를 들어 a,b,c문 중 당신이 c문을 골랐다면 사회자가 열 수 있는 문은 a,b밖에 없다. 앞서 (1)의 경우에서는 사회자는 선택권을 주기 전 자신 멋대로 1개를 열어놓고 시작한다. 즉, a,b,c문 중 아무거나 열 수 있다. 이런 차이가 66.666%라는 결과로 이어진 것이다.

즉, 사회자의 개방할 문 선택참가자의 문 선택이라는 사건의 발생 순서 차이로 인해 확률이 달라진 것이다.

2.6. 설명 6[편집]

몬티 홀 문제를 정답인 문을 찾는 게임이 아니라, 꽝인 문을 찾는 게임이라고 이해해 보자. 게임 참가자가 꽝인 문을 찾는다면, 주최자인 몬티 홀은 게임의 규칙 상 당연하게 다른 꽝인 문을 보여줄 수밖에 없으며, 여기서 게임 참가자는 기계적으로 '바꾼다'를 선택하면 결과는 당첨일 수밖에 없다. 반면 처음에 정답인 문을 찾는다면, 당연히 남은 문들은 꽝인 문일 수밖에 없다.

즉 게임 자체를 '꽝인 문 찾기(+ 그리고 몬티 홀이 바꿀 기회를 줬을 때 무조건 '바꾸기'를 선택하기)'인 게임이라고 이해한다면, 정답이 아닌 문을 고를 확률은 3분의 2, 맞는 문을 찾을 확률은 3분의 1이 된다.

2.7. 기타 다른 설명[편집]

또 다른 설명으로는 '문을 바꾸지 않으면 당신은 1/3 확률의 선택을 한 것이고, 문을 바꾸는 순간 당신은 두 번 선택을 한 것이므로[5] 2/3의 확률을 가지게 된다'는 것도 있다. 근데 이렇게 설명하면 대부분 못알아듣더라.

이렇게 설명해도 어려우면 한번 확률 계산을 해보자. 만약 오답을 공개하는 행위 없이 2번의 선택을 거친다면 정답을 고를 확률은 어떻게 될까?

  • 2번째 선택 때 바꾸지 않을 경우: 문 3개 중에서 하나를 고르는 것이니 확률은 1/3이 된다.

  • 2번째 선택 때 바꿀 경우: 첫번째 선택 때 오답을 고르고 두번째 선택에서 남은 두개의 문중에서 정답을 골라야 된다. 따라서 식으로 표현하면 2/3×1/2=1/3

사회자가 중간에 선택지 하나를 지울 때도 마찬가지다.

  • 2번째 선택을 하지 않을 경우: 1/3

  • 첫번째에서 오답을 고르고 재선택에서 다른 문으로 바꿀 경우 : 2/3×1/1=2/3.

선택을 바꿀 경우 위와 똑같은 방법으로 식을 만든다면 2번째 선택 때, 자신이 맨 처음에 고른 문은 제외해야 하기 때문에 자연스럽게 고를 수 있는 문이 하나밖에 없다는 사실을 알 수 있다.

더 쉽게 설명하자면, 처음에 오답을 고를 경우 바꾸면 무조건 정답이다. 처음에 오답을 고를 확률이 2/3이므로 2/3이 맞다.

그 외에도 매우 많은 종류의 증명이 존재한다. 베이즈 정리를 써서 증명한다. 중심극한정리가 잘 적용되는 사례이기 때문에 수렴 속도도 빠르며, control variate 같은 기법을 사용하면 더더욱 빠르게 답을 구해볼 수 있다.

3. 사람들의 오해[편집]

3번에 자동차가 있다고 하면,

  • 1번을 골랐을 경우에는 자동차가 없다. 그러므로 사회자가 염소가 있는 문을 연다면 2번 문을 열 것이다. 남은 문이 3번이므로 바꾸면 유리하다.

  • 2번을 골랐을 때도 자동차가 없다. 그러므로 사회자가 염소가 있는 문을 연다면 1번 문을 열 것이다. 남은 문이 3번이므로 바꾸면 유리하다.

여기까지는 아무 문제가 없어 보인다. 그런데...

  • 3번 문을 골랐을 때는 사회자가 두 가지 선택을 할 수 있다.

    • 1번 문을 열었을 때 남은 문이 2번이므로 바꾸면 불리하다.

    • 2번 문을 열었을 때 남은 문이 1번이므로 바꾸면 불리하다.

그러니까 요지는 뭐냐 하면, 경우의 수는 4인데 유리한 경우는 2가지이므로 확률은 2/4=1/2다!

이 증명이 틀린 이유는, 애초에 경우의 수는 1번 문을 고르느냐, 2번 문을 고르느냐, 3번 문을 고르느냐 세 가지밖에 없기 때문이다. 자동차가 든 문을 골랐을 때 사회자가 어떤 문을 선택하느냐는 사실 고려 대상이 아니다.

이는 확률로 계산해보면 더욱 명확해진다. 위와 같은 경우, 즉 3번 문에 자동차가 들어 있는 상황이라고 할 때,

  • 1번 문을 고를 확률이 1/3.

  • 2번 문을 고를 확률이 1/3.

  • 3번 문을 고를 확률이 1/3인데,

    • 사회자가 1번 문을 열어 줄 확률은 3번 문을 고를 확률 X 1번 문을 열어줄 확률(1/3 X 1/2) = 1/6

    • 사회자가 2번 문을 열어 줄 확률은 3번 문을 고를 확률 X 2번 문을 열어줄 확률(1/3 X 1/2) = 1/6

이해가 가시는가? 만약 위의 증명이 맞다고 하면 참가자는 뭐에 홀린 듯이, 염소가 있는 문을 선택할 확률과 자동차를 선택할 확률이 같아야 한다. 즉, 염소가 있는 문을 고를 확률 1/4(X2), 자동차가 있는 문을 고를 확률 1/2가 되어야 위의 증명이 성립한다고 할 수 있다.

그런데 여기서 조건부 확률이란게 참 기묘한게, 말 한마디 주어진 상황이 아주 조금만 바뀌어도 상황이 틀어진다. 같은 상황에서 몬티 홀이 문을 열때 오답을 전혀 모르고 있는 상태라고 전제조건을 바꾸어 생각해보자. 즉, 몬티홀이 열었을때 자동차가 나올수도 있는 상황이었다면, 사회자가 고른 문 뒤에서 무엇이 나올것인가가 고려대상이 포함되어 버리기 때문에 몬티홀이 먼저 염소가 있는 문을 열었더라도 이 경우만큼은 당첨자 뒤에 포르쉐가 있을 확률은 1/3이 아니라 1/2이 맞다!

자동차가 있는 문을 3번 문이라고 할 때

  • 1번 문을 고르고 2번 문이 열릴 확률 1/6

  • 1번 문을 고르고 3번 문이 열릴 확률 1/6

  • 2번 문을 고르고 1번 문이 열릴 확률 1/6

  • 2번 문을 고르고 3번 문이 열릴 확률 1/6

  • 3번 문을 고르고 1번 문이 열릴 확률 1/6

  • 3번 문을 고르고 2번 문이 열릴 확률 1/6

몬티가 문을 열었는데 염소가 나왔으므로 지금은 첫번째, 세번째, 다섯번째, 여섯번째, 넷 중의 하나이다. 바꿔서 자동차가 나오는 경우는 첫번째와 세번째 사건이므로 (1/6 + 1/6)/(1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6)=1/2다.

쉽게 적어보면 자동차를 골랐는데 염소를 보여주는 경우가 1/3, 염소를 골랐는데 자동차를 보여주는 경우가 1/3, 염소를 골랐는데 염소를 보여주는 경우가 1/3이 된다. 즉 바꾸는것과 바꾸지 않는것이 확률상 같게된다.

그 차이를 알고있냐 모르고있냐에 따라 문제가 확확 바뀌기 때문에 명확한 해결이 나온 아직도 이 문제에 대한 의견이 갈리게 되는 것이다. 몬티홀이 오답을 알고있을 경우에는 상술했듯이 확실히 아니라는 경우의 수 중에 하나는 오답이라고 확실히 인지시켜줌으로써 확률에 변화가 가해지지만, 모르고있던 상태에서 염소가 나왔다면 그 경우의 수를 아예 배제하고 확률을 새로 계산해야 하므로 계산 방법 자체가 달라진다. 위의 사자왕 동영상 후반부 설명에도 나와있듯이 경찰대학 문제에서 이런 전제조건을 다르게 생각하고 문제를 내서 논란이 된적이 있었다고 한다.

4. 확률의 정의[편집]

요약하자면 사람들이 흔하게 하는 오류는 이런것이다.
1번 선택 -> 하나의 문이 열림 -> 그 상태에서 가능한 경우의 수는 1번 선택문에 정답이 있거나 오답이있거나. -> 2가지 경우의수. -> 확률의 수학적정의 해당경우/전체경우 -> 0.5
대부분의 사람들이 생각한 0.5가 오류인 이유는 고등학교 교과과정에서 정의된 확률의 정의의 가정에 있다. 해당경우/전체경우를 확률로 정의할 때 분명히 앞에 "같은 확률로 일어나는 사건에 대해서" 라는 가정이 있었다.(아무도 눈여겨 보진 않겠지만) 즉 2가지 경우 기존 선택이 옳은 경우와 바꾼 선택이 옳은 경우는 동등한 정도로 일어나지 않기 때문에 1/2로 계산하면 당연히 틀린다. 답부터 말하자면 두 경우가 1:2의 가중치를 가진다. 즉 바꾼 선택이 옳은 경우가 기존 선택이 옳은 경우에 비해 2배 더 잘 일어나고 그래서 3의 가중치 중 2의 가중치를 가진 바꾼 선택이 2/3확률로 유리하게 되는 것이다.

왜 이렇게 되는지 살펴보자. 주어진 상황은 오로지 내가 뭔가를 선택했고 남은 2문중에 오답하나가 열렸다는 것이다. 이상황에서 생각할 수 있는 모든 경우의 수를 생각해보자. 편의상 3번에 정답이 있는 경우에 대해 생각해보면, 지금 일어난 상황은 (내가 선택한 문, 몬티홀이 열어준 문)의 순서쌍으로 도식화할 수 있다. 즉 (1,2) (2,1) (3,1) (3,2) 이 4개중에 하나가 일어났음이 틀림이 없다. 여기서

  • (1,2): 1/3*1

  • (2,1): 1/3*1

  • (3,1): 1/3*1/2

  • (3,2): 1/3*1/2

보이는가? (1,2)가 일어날 정도와 (3,1)이 일어날 정도는 같지않다! 여기서 수많은 사람들이 낚이고 제대로 설명 못하는 것이다. 가중치로 설명하자면, (1,2)과 (2,1)은 2 정도로 일어나고 (3,1)(3,2)는 1 정도로 일어나는 것이다. 이 상태에서 (1,2) (2,1) 즉 4의 비중에선 바꾸는 것이 정답으로 이어지고 (3,1)(3,2) 2의 비중에서는 고수하는 것이 정답으로 이어진다. 그렇기 때문에 바꾸는 것이 4/6의 정답률을 가져다주므로 유리하다.

5. 대중 매체에서의 등장[편집]

  • 웹툰 정글고의 명왕성(정글고등학교)사다리타기를 하다가 위의 이론대로 선택을 바꾸다가 매점에 가서 음료수를 사야 했다. 여기서 이 문서에 대해 잘 모르는 사람들은 명왕성이 불사조의 어설픈 심리전에 낚였다고 생각하기 쉽지만 선택을 바꾸는게 확률이 높아진다는 계산 자체는 맞았다. 단지 이 사다리타기에서는 당첨이 음료수를 사줘야 했을 뿐. 애초에 누가 음료수 사는지 정하려고 사다리타는 거자나. 지식은 불사조에 버금가면서 상식적인 방향으로 머리가 안돌아가는 명왕성의 특성이 돋보이는 에피소드다.

  • 괭이갈매기 울 적에 Ep8에서 조지제시카가 낸 퀴즈로 등장. "새로 알게된 사실에 따라 가지고 있는 진실이 변한다."는 말을 하려고 꺼낸 듯.

  • 이야기 시리즈 끝 이야기 상권에서 5년 전 오이쿠라 소다치아라라기 코요미에게 이 문제를 본딴 쪽지를 보냈다. 따지고 보면 아라라기가 수학에 관심을 가지게 된 계기가 된 문제.

  • 정재승과학 콘서트 책에서도 이를 언급했다.

  • 도전 골든벨 수학 골든벨 특집 33번 문제에서 출제되었다.

  • 드림 인베이더 둘째 날 문제에서 출제되었다.

  • tvN 문제적남자 34회에서 장진이 뽑은 미디어 속 뇌풀기 문제로 출제되었다.

  • 다음 만화속세상 웹툰 셜록: 여왕폐하의 탐정 53화에서 셜록 홈즈의 덫으로 쓰였다. 그런데 이 작품에서는 몬티홀 문제를 잘못 다루고 있다. 작중에서 셜록 홈즈가 문 하나를 열어보이고 "앗, 여기는 꽝이군요." 라고 말했는데, 이미 꽝이라고 알고 있는 문을 하나 열어보인다는 조건이 아니고 하나를 열어봐서 꽝임을 발견한 경우라면 확률은 1/2 이 된다. 물론 원래부터 꽝인 문을 열어보일 생각이면서 연기를 했다고 볼 수도 있지만, 그런 설명은 없었다. 단, 55화에서 밝혀진 바로는 염소 카드가 나올 수밖에 없는 속임수였다.

  • 교학사와 미래앤 <확률과 통계> 교과서에 나와 있다.

  • 유키 히로시의 수학 교양소설 '수학 걸 4권 - 확률적 알고리즘(Randomized Algorithms)'의 주제가 바로 이 '몬티 홀 문제'와 NP-완전 문제다.

  • 넘버스 제1기 13화에서 주인공인 찰스 앱스 교수가 이에 대해 강의하는 모습이 잠깐 나온다.

  • 1990년대에 방영한 MBC 칭찬합시다의 한 코너에서 이 방식을 차용한 적이 있었다.

6. 참고[편집]

이렇게 수학자들을 보기좋게 엿먹인 사반트였지만 이후 그녀가 발간한 이 세상에서 제일 유명한 수학 문제'(1993)에서 앤드루 와일스가 증명한 페르마의 마지막 정리의 증명에 의문을 제기하거나[6], 상대성 이론을 까댔기 때문에 유사과학으로 대중을 호도한다는 오해를 살 만 했던 것. 특히나 FLT에 대해서는 와일스의 첫 증명에서 오류를 발견한 것이 아니라, 수학적 귀납법, 귀류법, 허수에 대해서 제대로 이해하지 못했으며, 수알못적인 모습을 보였기에 더 많이 까였다.

'왜 월요일은 빨리 돌아오는 걸까'라는 책에 의하면, 정작 이 문제의 어원이 된 오락 프로그램인 몬티홀에서는 당첨을 선택할 때 사회자가 꽝이 있는 문을 열어서 보여주거나 한 적이 없다고 한다.

마틴 가드너가 쓴 이야기 파라독스에서는 몬티홀 문제와 비슷한 듯 다른 문제가 실려있다.

  • 3개의 컵을 엎어놓고 그중에 동전이 들어있는 컵을 찾는 야바위 놀이에서 행인이 '승률이 1/3밖에 안되니 돈을 걸지 않겠다'고 하니 야바위꾼이 플레이어가 컵을 하나 고르면, 셋 중에 동전이 들어있지 않은 컵을 하나 열어 보여주겠다는 제안을 한다. 그러면 플레이어의 승률은 올라가는가?(물론 속임수는 없다고 가정)

얼핏 생각해보면 컵 하나를 제거한 순간 남은 컵은 둘 뿐이니 돈을 딸 확률이 1/2로 증가하는 게 아닌가 하는 생각이 들기도 한다. 그러나 이 경우에는 몬티홀 문제와는 달리 플레이어에게 선택할 컵을 바꿀 기회를 주지 않고 있다. 그러니 이 룰을 추가하든 하지 않든 플레이어의 승률은 1/3 그대로 고정되고 확률이 바뀔 리 없다. 이 야바위꾼 머리좀 쓰네.

몬티홀처럼 직관적으로 내린 결론이 실제 수학적 답과 다른 또다른 문제. 문제는 다음과 같다.

  • 조커를 뺀 52장의 트럼프 카드 뭉치에서 카드 한장을 뽑아 확인하지 않고 바로 덮어두었다. 그리고 이후 무작위로 3장의 카드를 더 뽑았는데, 3장 모두 다이아였다. 이 때 처음 뽑은 카드가 다이아일 확률은?

일반적으로는 처음 카드를 뽑을 때를 기준으로 13/52=1/4이라고 생각하겠지만, 정답은 확인하지 않은 카드 중 다이아를 뽑을 확률과 같은 10/49이다.

후행사건의 결과에 의해서 선행사건의 확률이 바뀐다는 것이 일반적인 사고로는 납득되기 어려울 것이다. 위에서는 1/2로 바뀌는 쪽이 직관적이라더니? 이는 이후에 뽑은 3장의 다이아 카드가 무작위[7]로 뽑은 카드이기 때문으로, 정확한 확률 계산법은 다음과 같다.

(뽑은 총 4장의 카드가 모두 다이아일 확률)/(이후에 뽑은 3장이 모두 다이아일 확률)=14×(123)14×(123)+34×(133)=1049\displaystyle{ \frac{1}{4}\times\binom{12}{3} \over \frac{1}{4}\times\binom{12}{3} + \frac{3}{4}\times\binom{13}{3}}=\frac{10}{49}

더 간단하게 생각해보자면, 문제에서는 3장을 뽑은 것이 다이아였는데, 만약 4장이나 5장이었다면 어땠을까. 그래도 4분의 1이라고 생각될지도 모른다. 하지만 12장이라면? 더 나아가 13장이었다면? 즉 52장의 카드뭉치에서 1장을 무작위로 뽑은 다음, 나머지 카드 중에서 13장을 무작위로 뽑았는데 전부 다이아였다면 먼저 뽑은 1장이 다이아일 확률은?

이해하기 위한 다른 방법으로는 저 3장을 뽑았더니 다이아 카드였다는 것을 사건이 아닌 힌트라고 생각하는 방법도 있다. 이렇게 정리하면 다음과 같은, '확률'이 뭔지에 대해 배우면 초등학생이라도 풀 수 있는 쉬운 문제가 된다. 문제 : 13장의 카드에 1부터 13까지 숫자가 적혀있다. 카드를 잘 섞고 1장을 빼서 보지 않고 덮어두었다. 나머지 카드 중에서 3장을 뽑아보니, 각각 3, 5, 8이었다. 뒤집어져있는 카드가 1일 확률은?

관련 있는 문제로 아들 딸 문제#라는 것도 있다.

이렇게 직관적인 결론과 수학적으로 풀이한 결론이 일치하지 않는 이유는 선행 사건과 후행 사건이 서로 영향을 주지 않고 따로 노는 독립사건이 아니라, 선행 사건에 의해 후행 사건이 일어날 확률이 영향을 받는 종속사건이기 때문. 한 사건과 관련이 있는 사건의 정보가 주어지면 해당 사건이 일어날 확률은 달라지게 된다. '평범한 주사위와 456 주사위 중 하나를 랜덤으로 골라서 던지는데 4,5,6만 몇 천번씩 나오면 운빨일 확률보다 애초에 456 주사위였을 확률이 차라리 높다' 같은 식으로 이해하면 된다(?)

양자역학을 일반 상식으로는 이해할 수 없는 것도 이러한 확률의 변화와 관련이 있다. 한 사건이 일어날 확률을 구함에 있어 확률의 변화가 수반되는 경우 눈에 보이는 사건이라도 혼동되기 마련인데, 눈에 보이지 않는 사건이라면 두말하면 잔소리다. 양자역학에서는 관찰이라는 행위도 관찰하고자 하는 사건과 관련된 하나의 사건으로 취급되므로 관찰하고자 하는 사건의 확률에 영향을 주게 된다. 즉, 관찰 행위(선행 사건)가 관찰하고자 하는 것(후행 사건)에 직접 영향을 주어 사건의 결과를 달라지게 한다는 말이다. 이를 파동함수의 붕괴라 하는데, 파동함수는 확률밀도 함수의 일종[8]이므로 파동함수가 붕괴한다는 것은 쉽게 말해 방정식 자체가 달라진다는 것이므로 그 파동함수를 통해 도출되는 결과값. 그러니까 관찰하고자 할 사건이 일어날 확률이 당연히 변하게 된다. 이 때문에 양자역학에서는 관찰 행위가 결코 무시될 수 없는 것이다.

전설적인 수학자 폴 에어디쉬도 선택을 바꾸든 아니든 확률은 같다고 생각했고, 컴퓨터로 실험해본 뒤에야 바꾸는 것이 유리한 선택임을 인정했다고 한다. 참고로 에어디쉬는 20세기 후반 최고의 수학자라 불러도 과언이 아닌 사람. 밤에 이불 좀 차셨겠다.

6.1. 편견 있는 몬티[9][편집]

Morgan et al. (1991 ) and Gillman (1992 ) both show a more general solution where the car is (uniformly) randomly placed but the host is not constrained to pick uniformly randomly if the player has initially selected the car, which is how they both interpret the statement of the problem in Parade despite the author's disclaimers. Both changed the wording of the Parade version to emphasize that point when they restated the problem. They consider a scenario where the host chooses between revealing two goats with a preference expressed as a probability q, having a value between 0 and 1. If the host picks randomly q would be 1/2 and switching wins with probability 2/3 regardless of which door the host opens. If the player picks door 1 and the host's preference for door 3 is q, then the probability the host opens door 3 and the car is behind door 2 is 1/3 while the probability the host opens door 3 and the car is behind door 1 is q/3. These are the only cases where the host opens door 3, so the conditional probability of winning by switching given the host opens door 3 is 1/31/3+q/3\frac{1/3}{1/3 + q/3} which simplifies to 11+q\frac{1}{1+q}. Since q can vary between 0 and 1 this conditional probability can vary between 1/2 and 1. This means even without constraining the host to pick randomly if the player initially selects the car, the player is never worse off switching. However neither source suggests the player knows what the value of q is so the player cannot attribute a probability other than the 2/3 that vos Savant assumed was implicit.

Morgan 측과 Gillman은 <퍼레이드> 편집자 측의 반대가 있음에도 문제의 진술을 다르게 해석하여, 자동차는 확률적으로 동등하게 배치될 수는 있어도 참여자가 최초에 자동차가 있는 문을 골랐을 때 사회자가 완전히 무작위로 염소가 있는 문을 열어야 할 의무가 없다는 점을 들어 더 일반적인 답을 내놓았다. 그들은 사반트가 질문 받았던 몬티홀 문제[10]의 서술을 각색하여 그 부분을 강조한 것이다. 그들은 사회자가 두 염소 중 어떤 것을 선택할지에 대한 선호를 0과 1사이의 값을 가지는 확률 q[11]로 나타내는 상황을 가정한다. 만약 사회자가 정말 무작위로 고른다면 q는 1/2일 것이고 사회자가 어떤 문을 열든 간에 선택을 바꾸는 것이 2/3의 확률로 차를 고르게 된다. 만약 참여자가 1번 문을 고르고 사회자가 3번 문에 대한 선호가 q이면, 그러면 사회자가 3번문을 열 때 차가 2번 문 뒤에 있을 확률은 1/3이고 3번 문을 열 때 차가 1번 문 뒤에 있을 확률은 q/3이 된다. 이것은 사회자가 3번 문을 열 때 발생하는 모든 사건들이며, 사회자가 3번 문을 열 때 참여자가 선택을 바꿀 경우의 조건부확률은1/31/3+q/3\frac{1/3}{1/3 + q/3}이며 정리하면 11+q\frac{1}{1+q}이다. q는 0과 1 사이에서 결정되므로 이 조건부확률도 1/2과 1사이에서 정해진다. 이것은 참여자가 최초에 차를 골랐을 때 사회자가 딱히 무작위로 문을 열어야 할 것을 강요하지 않더라도 참여자는 선택을 바꿔서 나쁠 게 없음을 보여준다. 하지만 참여자가 q의 값을 알 수 있는 어떠한 정보도 주어지지 않으면 참여자는 보스 사반트가 예측한 것으로 내재되어 있는 2/3 이외의 한 확률로 인한 것이라고 생각할 수 없다.


영문 위키피디아에서 인용 및 해석

이 문제의 핵심은 고전적인 몬티홀 문제에서 참여자가 선택을 바꿀 경우의 당첨 확률이 1/2이 아닌 2/3임을 인정하더라도, 실제 몬티홀 게임에서의 확률은 2/3이 아닐 수도 있음을 밝히는 데 있다. 몬티홀 문제의 다른 바리에이션들의 경우 아예 게임의 룰을 바꿔서[12] 새롭게 각색하는 반면 이 문제의 경우 몬티홀 게임 자체의 룰을 충실히 따르면서 고전적인 몬티홀 문제에서 추가된 가정만을 부정한다.
즉, 고전적인 몬티홀 문제는 사회자에게 어떤 문을 열지 선택할 기회가 있을 경우 완전 무작위로 고를 것으로 가정하는 반면, 편견 있는 몬티의 경우 사회자가 어떤 편견 "q"의 확률을 가져 가능한 자신이 원하는 문을 열고자 한다고 보는 것이다. 달리 말하자면 고전적인 몬티홀 문제는 편견 q의 값을 1/2로 정하는데 편견 있는 몬티에서는 q의 값을 0q10\leq q\leq 1으로 폭넓게 설정한다.

이를 통해 본래의 몬티홀 문제가 가진 취지, 선택을 유지하는 것보다 선택을 바꾸는 것이 더 유리해짐을 밝히는 데 있어 "유지할 경우 당첨 확률 1/3인데 바꾸면 2/3, 따라서 바꾸는 것이 더 유리하다"고 말하는 것보다 "그냥 바꾸는 게 더 유리하다"는 식으로 막연하지만 더 현실적인 답을 유추해내고자 하는 것이다.

이런 식으로 순수하게 사반트가 질문 받았던 대로 몬티 홀 문제를 해석하고자 하는 시도에 대해 좀더 설명하자면 이렇다.

The battle among wikipedia editors could be described as a battle between intuitionists versus formalists, or to use other words, between simplists versus conditionalists. The main question which is endlessly discussed is whether simple arguments for switching, which typically show that the unconditional probability that the switching gets the car is 2/3, may be considered rigorous and complete solutions of MHP. The opposing view is that vos Savant’s question is only properly answered by study of “the” conditional probability that the switching gets the car, given the initial choice of door by the player and door opened by the host. This more sophisticated approach requires making more assumptions, and that leads to the question whether those supplementary conditions are implicitly implied by vos Savant’s words.

영문 위키피디아[13] 편집자들[14] 간에 벌어진 분쟁은 직관론자들과 형식론자들, 달리 말하자면 심플리스트들과 조건론자들간의 다툼으로 묘사될 수 있다. 끊임없이 논의되었던 주제는 선택을 바꾸는데 있어서 무조건 바꾸는 것이 차를 2/3으로 가질 수 있다고 말하는 것이 몬티 홀 문제에 대한 절대적인 답이 될 수 있는지의 여부이다. 반대측은 보스 사반트의 질문은 참여자가 문을 처음에 고르고 사회자가 문을 연 상황에서 선택을 바꿨을 때 차를 고르게 되는 조건부 확률에 대한 연구에 의해서만 답변되었다고 말한다. 이 더 정교해진 접근은 더 많은 가정을 많들 것을 요구했고, 이는 보충되는 조건들이 보스 사반트의 답변에서 파악될 수 있는 지에 대한 의문으로 이끌었다.


GILL, Richard D. The Monty Hall problem is not a probability puzzle (It's a challenge in mathematical modelling)#

논문에서도 나오는 말이지만, 사반트가 답변해야 했던 것은 어디까지나 선택을 유지하는 것보다 바꾸는 것이 좋은가이지, 바꾸는 것에 대한 확률은 어떤가에 대한 것이 아니다. 물론 초기에 1/2[15]을 주장하는 이들과의 논쟁 속에서 2/3이라는 고전적인 답이 나올 수 있었지만 본래의 문제에서 요구했던 것보다 지나치게 한정되어버린 것이라 볼 수 있다. 이 논문의 저자도 문제에 대해 제대로 된 정의 없이 답을 2/3으로 확정지으려는 점을 두고 근본주의적이라고 지적했다.

수식 빼고 설명하자면, 예컨대 2번과 3번 문이 모두 염소일 때는 몬티가 2번 문을 더 선호한다고 하자. 만약 1번 문에 자동차가 있어서 2번과 3번이 모두 염소라면 몬티는 2번 문을 더 높은 확률로 열게 될 것이다. 하지만 1번 문이 염소라면 2번과 3번 문 중 하나만 염소이므로 몬티에게는 선택의 여지가 없고, 이 경우 2번 문과 3번 문은 염소가 있을 확률이 같으므로 몬티는 2번과 3번을 같은 1/2의 확률로 열게 될 것이다. 즉 1번에 자동차가 있으면 2번 문을 더 많이 열고 1번에 염소가 있으면 2번과 3번을 같은 확률로 열 것이므로, 몬티가 2번을 여는 경우 1번에 자동차가 있을 확률이 그만큼 높아지는 것이다.

그리고 몬티가 2번과 3번 중에서 무조건 2번만을 선택하는 극단적인 경우, 몬티가 2번 문을 열었을 때 1번에 자동차가 있을 확률이 1/2 이며 3번을 열었을 때의 확률은 0이다. 따라서 편견 있는 몬티의 경우 1번에 자동차가 있을 확률은 0~1/2 이며 선택을 바꿨을 때의 확률은 1/2~1 이다.

6.1.1. 사반트가 받은 질문에 대한 답[편집]

확실히 이러한 노력들을 통해 본래의 질문에서 선택을 바꾸었을 때의 확률은 2/3이 아니라 12p1\frac{1}{2} \leq p \leq 1 라는다는 점이 밝혀졌다. 참여자가 1번 문을 선택하면 다음과 같은 상황들이 나오게 된다.

  • 자동차가 1번 문에 들어 있을 경우(1/3),

    • 사회자가 2번 문을 연다.{1/3 * (1-q)}

    • 사회자가 3번 문을 연다.(1/3 * q)

  • 자동차가 2번 문에 들어 있을 경우 사회자는 3번 문을 연다.(1/3)

  • 자동차가 3번 문에 들어 있을 경우 사회자는 2번 문을 연다.(1/3)

문제에서 사회자는 이미 3번 문을 열었으므로, 사회자가 2번 문을 여는 경우는 제외된다.
자동차가 1번 문에 들어 있을 경우에 대한 확률이 1/3*q, 그리고 자동차가 3번 문에 들어 있을 확률이 1/3이며, 이에 따라 사회자가 3번 문을 연 상황에서의 조건부 확률을 계산해보면, 전체 확률은 (1/3 + q/3), 여기서 선택을 바꾸면 1/3 그리고 선택을 유지하면 q/3, 따라서 선택의 바꿀 경우의 확률은 상술한대로 1/31/3+q/3\frac{1/3}{1/3 + q/3}이며, 정리하면 11+q\frac{1}{1+q}이 된다. 11+q\frac{1}{1+q}은 q가 0q10\leq q \leq 1이므로 1211+q1\frac{1}{2} \leq \frac{1}{1+q} \leq 1인 것이다.

그런데 그렇다고 해서 2/3가 잘못된 답이라는 말은 아니다. 몬티가 편견이 있다는 것을 알고 있다면, 즉 q값에 대해 (정확한 겂을 아는 것은 아니더라도) 어느 정도의 정보가 있을 때는 바꿨을 확률이 2/3 이 아니라고 말할 수 있다. 하지만 "몬티가 어떤 문을 선호하는가"에 대한 정보가 전혀 없는 경우에는 확률은 그대로 2/3 이다. 이에 대해 확률이 실제로는 2/3가 아닌데 단지 그것을 모를 뿐이라고 주장하는 경우도 있지만, 바로 그렇게 모르는 정보가 있기 때문에 확률을 계산하는 것이다.[16] q의 구체적인 확률분포를 가정하지 않더라도, 몬티가 2를 선호하는 경우와 3을 선호하는 경우 중 한 쪽이 더 확률이 높다고 판단할 이유가 없는 한 확률은 정확하게 2/3이고, 몬티가 편견이 없다는 조건은 문제에 없었지만 몬티가 2와 3 중에서 한 쪽을 더 선호한다는 조건 또한 없었으므로 문제의 답은 2/3 가 맞다. 단지 2/3 라는 확률값이 절대적인 답이 아니고 다른 추가적인 정보에 따라 얼마든지 변할 수 있다는 점을 설명하는 것이다.

[1] 기존의 논쟁과는 다르게, 몬티홀 문제에서 참여자가 선택을 바꾸면 그 문에 차가 있을 확률이 1/2도 분명 아니지만 2/3도 아님을 지적하고자 하는 문제다. 자세한 내용은 후술.[2] 실제 게임 룰에서 자연스레 추론되기도 하지만 사회자가 실수로 자동차가 있는 문을 여는 것이 TV로 송출되면 무슨 일이 벌어질까, 이 문제의 답이 2/3임을 끌어내는데 중요한 역할을 한다.[3] 사회자가 편견을 가지지 않음을 뜻한다.[4] 아주 쉽게 생각해서 남은 99개의 문중에서 왜 하필 그문만 안열었을까 생각하면 된다.[5] 이 경우 처음 내가 선택한 것은 의미가 없으니 버린다. 사회자가 대신 꽝을 선택해준 것이 첫 번째 고른 것이 되고 나머지 두 개 중에서 내가 하나를 고를 때 두 번째 선택이 성립한다. 그냥 사회자가 나에게 문을 한 번 열어보라 하고 그게 꽝이었을 때 나머지 두 개 중에서 한 번 더 선택 할 기회를 주는 것과 똑같다.[6] 이 당시는 아직 증명의 오류가 밝혀지지 않은 때였다[7] 만약 뽑은 사람이 자기가 뽑을 카드가 다이아일 것을 미리 알았다면, 애시당초 '다이아몬드' 세 장을 첫 장 뒤에 놓았다는 것, 이 전제가 되므로 선행사건과 후행사건에 대한 착각이 벌어지지 않는다.[8] 한 사건의 확률을 구하는 엄청나게 복잡하게 생긴 방정식이라고 생각하면 된다.[9] 좀더 정확히 표현하면, '편견을 가질 수 있는' 몬티이다. 왜냐면, 아래수식은 0부터 1 사이에 존재하는 모든 q값에 대해 성립하기 때문에 우리가 편견이 없다고 해석할 수 있는 q=1/2의 경우에서도 아래 답은 참이기 때문이다(물론 이 때는 q=1/2을 대입하여 계산된 결과가 '바꿀 때 당첨확률이 2/3'라는 고전적 몬티홀문제의 결론과 동일해짐). 즉, 아래 내용에서 더 일반적인 답을 내놓았다고 표현하고 있는 것은 아래와 같은 응답이 편견 있는 몬티(q≠1/2인 몬티)에 대해서만 가능한 것이 아니라 편견 없는 몬티(q=1/2인 몬티)에 대해서도 가능하기 때문이다.[10] <퍼레이드> 잡지에 실린 문제와 고전적인 몬티홀 문제는 엄밀히 따지면 서로 다르다. 고전적인 몬티홀 문제는 게임 시작부터 답이 나오는 순간까지의 과정을 다루지만, 사반트의 경우 이미 "당신(you)"은 1번 문을 골랐고, 사회자는 3번 문을 연 상태에서 선택을 유지할지 바꿀지를 결정해야 하는 것이다.[11] 2번과 3번 문 중 3번 문을 선택할 확률[12] 예를 들면 악마 몬티의 경우 참여자가 처음에 3개의 문들 중에서 2/3의 확률로 염소가 있는 문을 고를 경우 거기서 게임을 끝내버린다.[13] 실제 토론 내용으로 보인다.[14] 논문에서는 Hogbin과 Nijdam이라고 밝혀놨다.[15] 선택을 바꿔도 유리할 것은 없다[16] 위쪽의 '사람들의 오해' 단락을 다시 읽어보자. "몬티홀 문제는 규칙을 숨겨 놓고 틀리게 만드는 넌센스 퀴즈가 아니다. 규칙은 문제 안에 다 나와 있다."