측도

측도(測度, measure)는 길이, 넓이, 부피, 확률 등 양적 개념을 집합에 부여할 수 있도록 추상화한 것이다. 적분 이론과 함수 공간 구성의 바탕으로, 실해석학의 기초 개념이다.

물의 부피를 측정하는 방법을 예로 들어보자. 물 분자의 수를 일일이 세서 물질량으로 전달하거나, 컵의 길이를 재서 부피를 정의하고 컵에 담긴 물의 들이를 계산하는 등 다양한 방식이 있다. 이러한 방식들이 크기를 부여하는 과정이라고 할 수 있다. 전자는 물 분자 하나를 1개라고 크기를 정의한 것이고, 후자는 길이라는 크기를 정의했을 때 물이 얼마나 들어있는가를 부피로 정의한 것이다. 위 예시처럼 물이 담긴 컵이나 그 안의 물 분자 수로 크기 개념을 부여하듯이, 수학적으로 집합에 크기를 부여하는 것이 바로 측도(測度, measure)이다. 길이, 질량, 부피, 개수, 확률 등 많은 것들이 측도가 될 수 있다.

적분론의 발전에 따라 기존의 개념만으로는 그 크기를 측정할 수 없는 집합이 발견되며 측도의 필요성이 대두되었다. 전통적으로 직사각형이 아닌 도형의 넓이는 구분구적법으로 계산하였고, 이것을 근대에 정립한 것이 바로 적분, 특히 리만 적분이었다. 현대 표현으로 $A \subset \R^n$에 대하여 $A$에서 1, $A^c$에서 0으로 정의된 특성함수(characteristic function)의 적분값이 넓이가 되는 것이다. 그러나 리만 적분으로 그 크기를 측정할 수 없는 집합이 존재한다. 예를 들어 유리수 집합 특성함수인 디리클레 함수

는 리만 적분이 불가능하므로 특성함수의 리만적분으로 유리수 집합의 길이를 정의할 수 없다. 수학자들은 자연스럽게 리만 적분 불가능한 특성함수를 갖는 집합의 넓이를 정의할 수 있는지에 대한 의문을 가졌고, 이와 같은 문제를 해결할 수 있는 새로운 측량 개념을 정의하기 위하여 노력하였다. 그 결과 앙리 르베그(Henri Lebesgue, 1875-1941)가 기존 조르당 측도(Jordan measure/Jordan contents) 등의 아이디어로부터 르베그 측도(Lebesgue measure)와 그 위에서 이루어지는 르베그 적분을 고안했다. 르베그 측도를 도입함으로써 리만 적분으로 길이를 측정할 수 없었던 유리수 집합 등에 길이를 줄 수 있게 되었다. 또한 르베그 측도를 토대로 정의된 르베그 적분은 리만 적분의 문제점을 다수 해결하였다.

기존의 길이나 넓이가 없는 곳에서는 어떻게 측도를 생각할 수 있을까? 이에 대한 질문은 의외로 확률론에서 시작되었다. 확률 문서에도 있지만 확률이 무엇인지 정의하는 문제는 의외로 수학자들을 나름 골먹여 왔는데, 연속 공간에서 일관성 있게 확률을 정의하는 방법이 없었기 때문이다. 확률을 종종 넓이로 생각하던 기하학적 확률의 사고방식과 맞물려 측도론의 아이디어들이 확률론에도 점차 들어왔고, 이것을 안드레이 콜모고로프(Andrey Kolmogorov, 1903-1987)가 '확률=측도'로 정확히 못박은 것이 현대 공리적 확률론의 출발점이다. 더 정확히는 이 확률론에서 측도를 정립하면서 실수 위에서만 적용되던 기존 측도론이 모든 집합에까지 일반화된 것에 가깝다.

이제 측도론은 길이/넓이 뿐만이 아니라 일반적인 상황을 다루어야 했고, 최소 조건만으로 측도를 만들 수 있게 되었다. 예를 들어 동전을 끝없이 던지는 상황을 생각해 보면, 앞면과 뒷면이 나오는 비율이 1로 수렴할 확률은 얼마일까? 아니 애초에 저 사건에 확률을 줄 수 있을까? 저 공간 자체에 확률을 주는 것이 가능은 할까? 의외로 이런 비교적 일상적인 상황에서도 확률을 모순 없이 정의하는 데에는 측도론이 필요했던 것이다.

모든 집합이 잴 수 있는 것은 아니다. 즉, 어떠한 측도를 이용해도 그 크기를 부여할 수 없는 집합이 존재한다. '모든 집합의 크기가 0인 측도'와 같은 수학적으로 무의미한 측도는 부여할 수 있지만, 유용한 측도를 부여할 수는 없다. 자세한 내용은 바나흐-타르스키 역설 참고. 따라서 측도론과 이를 이용한 해석학 이론은 모든 집합이 아닌, 측도를 부여할 수 있는 집합만을 대상으로 한다.[1] 측정할 수 있는 대상(measurable sets)을 모아 놓은 집합을 시그마 대수($\sigma$-algebra)라고 하며, 시그마 대수는 후술할 측도의 엄밀한 정의와 호환되도록 아래와 같이 정의한다.

공집합이 아닌 집합 $X$의 $\sigma$-대수 $\mathcal{M}$은 다음 조건을 만족시키는, $\mathcal{P}(X)$의 부분집합이다.

$\sigma$-대수 $\mathcal{M}$이 부여된 집합 $(X, \mathcal{M})$을 가측 공간(잴 수 있는 공간, measurable space)이라고 하며, $\mathcal{M}$의 원소를 가측 집합(잴 수 있는 집합, measurable set)이라고 한다.

위 정의에 따라 $M_1, M_2, \cdots \in \mathcal{M}$에 대하여

이므로 $\sigma$-대수는 가산 교집합[2]에 대하여 닫혀있다. 또한 $E \in \mathcal{M}$에 대하여 $E \cap E^c = \varnothing$이고 $\varnothing^c = X$이므로 $\sigma$-대수는 공집합과 전체집합을 원소로 갖는다.

$\sigma$-대수의 정의에 의하여 $\sigma$-대수의 임의의 교집합은 $\sigma$-대수이다. 따라서 집합족 $\mathcal{E}$를 포함하는 모든 $\sigma$-대수의 교집합을 취하여 $\mathcal{E}$를 포함하는 최소 $\sigma$-대수 $\mathcal{M(E)}$를 얻을 수 있다. 이를 $\mathcal{E}$로 생성된 $\sigma$-대수라고 한다.

측도는 잴 수 있는 집합 즉, 시그마 대수의 각 원소에 그 크기에 해당하는 0 이상의 실수를 부여하는 함수이다. 측도의 정의는 다음과 같다.

가측공간 $(X, \mathcal{M})$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $\mu: \mathcal{M} \to [0, \infty)$를 $(X,\mathcal{M})$ 위의 측도(measure)라고 한다.

그리고 측도가 부여된 가측 공간 $(X, \mathcal{M}, \mu)$를 측도 공간(measure space)이라고 한다.

집합 $X$ 위의 측도 $\mu$가 $\mu(X) < \infty$을 만족할 때, $\mu$를 유한하다고 한다. $X$가 모든 $k$에 대하여 $\mu(E_k) < \infty$인 집합 열 $\{E_k\}_{k=1}^\infty \subseteq \mathcal{M}$의 합집합, 즉 $X = \bigcup_{k=1}^\infty E_k$이면 $\mu$를 $\sigma$-유한이라고 한다.

측도 공간 $(X, \mathcal{M}, \mu)$의 가측 집합 $E \in \mathcal{M}$가 $\mu(E) = 0$을 만족시킬 때, $E$를 영집합(null set)이라고 한다. 어떤 명제가 영집합을 제외한 모든 $x \in X$에서 성립할 때, 이 명제는 거의 모든 곳에서(almost everywhere, 줄여서 a.e.) 참이라고 한다. 예를 들어 두 함수 $f, g$에 대하여 집합 $\{x: f(x) \ne g(x)\}$의 측도가 0이면 $f, g$를 거의 모든 곳에서 같은 함수라고 한다.

영집합이 아닌 가측 집합 $A\in\mathcal{M}$가 $\mu(E)<\mu(A)$를 만족시키는 임의의 가측 부분집합 $E\subset A$에 대하여 $\mu(E)=0$일 때, $A$를 측도 공간 $(X, \mathcal{M},\mu)$의 원자(atom)라고 한다.[3] $\sigma$-유한 측도 $\mu$에 대하여 임의의 양측도 가측집합이 원자를 포함하면 $\mu$를 원자적 측도라고 하며, 원자를 갖지 않는 측도 $\mu$를 비원자적측도라 한다.

$\mu(E) = 0$인 임의의 $E \in \mathcal{M}$에 대하여 $E$의 모든 부분집합이 가측인 측도를 완비측도라고 한다.

측도공간 $(X, \mathcal{M}, \mu)$에 대하여 다음 성질이 성립한다.

외측도(outer measure)는 집합 위에 $\sigma$-대수와 측도를 구성하는 도구이다. 평면 위의 비정형적인 영역의 넓이는 직사각형 격자를 이용해 영역을 나누고 그 격자의 간격을 세밀하게 하여 영역을 덮는 직사각형들의 넓이의 합을 이용해 근사할 수 있다. 이 과정을 일반화한 것이 외측도이다. $X$ 위의 외측도는 공집합이 아닌 집합 $X$에 대하여 다음을 만족시키는 함수 $\mu^*: \mathcal{P}(X) \to [0, \infty]$이다.

가측 집합에 대해서만 정의되는 측도와 달리, 외측도는 임의의 부분집합에 대하여 정의된다. 또한 측도는 서로소 집합열에 대하여 가산 가법성을 만족시키지만 외측도는 그렇지 않다.

집합 $X$ 위의 외측도 $\mu^*$에 대한 $\bf\mu^*$-가측 집합은 임의의 $E \subseteq X$에 대하여 $\mu^*(E) = \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap A^c)$를 만족시키는 $A \subseteq X$이다. 이는 집합 $A$를 격자로 나누어 집합의 바깥쪽에서 근사했을 때($\mu^*(E \cap A)$)와 안쪽에서 근사했을 때($\mu^*(E) - \mu^*(E \cap A^c)$)의 크기가 같아 측도를 부여할 수 있는 것으로 이해할 수 있다.

내측도(inner measure)는 외측도의 준가법성(subadditivity)이 반대(superadditivity, 이 문서에서는 '초가법성'으로 번역한다)일 때의 측도이다.

협력적 게임 이론에서 연합을 구성하면 구성할수록 시너지가 나서 그 가치가 점점 커질 때 그 가치(worth function)가 내측도이다.

주의해야할 점은 외측도와는 달리 서로소인 집합(disjoint sets)에 대해서만 초가법성(superadditivity)이 성립한다는 점이다.

외측도는 주로 대수 위에서 정의된 예비측도를 사용하여 구성한다. 집합 $X$의 대수(algebra)는 여집합과 유한 합집합에 닫혀있는, $X$의 부분집합족이다. 대수 $\mathcal{A}$ 위의 예비측도(premeasure) $\mu_0: \mathcal{A} \to [0, \infty]$는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

집합 $X$의 대수 $\mathcal{A}$ 위에서 정의된 예비측도 $\mu_0$와 $A\subseteq X$에 대하여

로 정의된 함수 $\mu^*: \mathcal{P}(X) \to [0, \infty]$는 $X$ 위의 외측도이다. 여기서 $\{E_n\}$은 $A$의 덮개이다. 이와 같이 예비측도 $\mu_0$를 확장하여 얻은 외측도 $\mu^*$에 대하여 $\mu^*|_{\mathcal{A}} = \mu_0$이며, 각 $A \in \mathcal{A}$는 $\bf\mu^*$-가측집합이다.

임의의 집합에 대해 측도를 부여할 때는 집합 전체에서 정의되는 외측도를 이용하여 가측집합을 구성하고, 외측도의 정의역을 가측 집합족으로 제한하여 측도를 구성한다.

예비측도를 이용한 외측도의 구성과 카라테오도리 정리를 이용하여 대수 위의 예비측도를 $\sigma$-대수 위의 측도로 자연스럽게 확장시킬 수 있다.

공집합이 아닌 집합 $X$와 함수 $f:X\to [0,\ \infty]$에 대하여 $\mu(E)=\sum_{x\in E}f(x)$로 정의된 $\mu:\mathcal{P}(X)\to[0,\ \infty]$는 멱집합 $\mathcal{P}(X)$를 $\sigma$-대수로 하는 측도이다. 모든 $x\in X$에 대하여 $f(x)=1$일 때, $\mu$를 셈측도라고 한다. $E$가 유한집합인 경우 $\mu(E)$는 $E$의 원소의 개수와 같다. $X$가 무한집합인 경우 $\sum_{x\in X}f(x)$는 $\sup\left\{\sum_{x\in F}f(x):F\subseteq X,\ |F|<\infty \right\}$로 정의한다. 이때 집합 $A=\{x:f(x)>0\}$가 비가산인 경우 $\sum_{x\in X}f(x)=\infty$이며, $A$가 가산인 경우 $A=\{x_1,\ x_2,\ \ldots\}$라 할 때 $\sum_{x\in X}f(x)=\sum_{n=1}^\infty x_n$이다.

거리(위상)공간 $X$의 모든 열린집합의 집합족으로 생성된 $\sigma$-대수 $\mathcal{B}_X$를 보렐 $\sigma$-대수라고 한다. 즉, 보렐 $\sigma$-대수는 $X$의 모든 열린집합을 원소로 갖는 최소 $\sigma$-대수이다. 보렐 $\sigma$-대수의 원소를 보렐 집합이라고 하며, 보렐 $\sigma$-대수 위에서 정의된 측도를 보렐 측도라고 한다. 프랑스의 수학자이자 정치인 에밀 보렐의 이름에서 따왔다.

실수 전체의 집합 $\R$에서 보렐 측도의 구성 과정은 대수와 예비측도가 $\sigma$-대수와 측도로 확장되는 과정을 보여주는 대표적인 예시이다. 또한, 보렐 측도의 완비화를 통하여 르베그-스틸체스 측도를 얻을 수 있다. $\R$의 보렐 측도는 $\mathcal{B}_{\R}$를 생성하는 $\R$의 대수 $\mathcal{A} = \{ (a,b] \subseteq \R \,|\, a, b \in \overline{\R} \}$ 위에 예비 측도를 부여함으로써 구성할 수 있다. $F: \R \to \R$가 우연속 증가함수이고 $(a_k, b_k]$(단, $k=1, \cdots\!, n$)가 서로소인 반열린구간일 때, 다음과 같이 정의된 함수 $\mu_0: \mathcal{A} \to [0, \infty]$는 대수 $\mathcal{A}$의 예비측도이다.

위와 같이 구성한 예비측도 $\mu_0$를 $\mathcal{B}_{\R}$ 위로 확장한 측도의 완비화를 $\mu_F$로 나타낸다. $\mu_F$를 $F$에 대한 르베그-스틸체스 측도라고 한다. 르베그-스틸체스 측도의 정의에서 반열린구간을 열린구간으로 대체 가능하다. 우연속 증가 함수 $F$에 대한 르베그-스틸체스 측도를 $\mu$, $\mu$의 정의역인 $\sigma$-대수를 $\mathcal{M}_\mu$라고 하면 다음이 성립한다.

또한 보렐 측도는 위상 공간에서 정의되었기 때문에 집합의 측도와 가측성을 위상적 대상을 이용하여 표현할 수 있다.

다음 정리에서 $G_\delta$ 집합과 $F_\sigma$ 집합은 각각 열린집합의 가산 교집합과 닫힌집합의 가산 합집합을 의미한다.

함수 $F(x)=x$에 대한 르베그-스틸체스 측도 $\mu_F$를 르베그 측도(Lebesgue measure)라 한다. 함수 $F(x)=x$에 대한 예비측도가 구간 $(a,b)$에 길이 $b-a$를 부여하므로 르베그 측도는 실직선 위에서 정의된 길이의 자연스러운 추상화로 파악할 수 있다.
르베그 측도는 $m$으로 표기하며, $m$의 정의역인 $\sigma$-대수를 $\mathcal{L}$로 나타낸다. 단, 르베그 측도를 $\lambda$나 $\mu$도 표현하는 사람도 있고, 사실상 표준은 없다.# 본 문서에서는 기존 서술을 존중하여 $m$으로 기술한다.

실수 $\R$에서 르베그 측도의 구성 과정을 요약하면 다음과 같다.
외측도 $m^*: \mathcal{P}(\R) \to [0, \infty]$를

로 정의하면, 집합족 $\mathcal{M}_m = \{ A\subseteq\R \,|\, m^*(E) = m^*(E\cup A) +m^*(E\cup A^c) {\sf \ for\ all\ } E\subseteq\R \}$은 $\sigma$-대수이다. $A \in \mathcal{M}_m$를 르베그 가측 집합이라고 하며, 르베그 측도 $m$은 외측도 $m^*$의 $\sigma$-대수 $\mathcal{M_m}$으로의 제한사상 $m = m^*|_{\mathcal{M}_m}$이다.

일반적인 유클리드 공간 $\R^d$에서는 구간 $(a_k, b_k)$를 직사각형 $(a_{1k}, b_{1k}) \times \cdots \times (a_{dk}, b_{dk})$로, 구간의 길이 $|b_k-a_k|$를 부피 $\prod_{i=1}^d |b_{ik}-a_{ik}|$로 대체하여 정의할 수 있다.

르베그-스틸체스 측도의 정의에 따라 르베그 측도는 완비측도이다. 실제로 $m(E)=0$인 $E \in \mathcal{M}_m$에 대하여 임의의 $F\subseteq E$가 $F \in \mathcal{M}_m$임을 확인할 수 있다. 또한 르베그 측도는 집합의 평행이동에 불변이며, 확대 및 축소에 자연스럽게 대응된다. 즉, $E \in \mathcal{L}$와 $a, b \in \R$에 대하여 $E+a \in \mathcal{L}$, $bE \in \mathcal{L}$이다. 또한 $m(E+a) = m(E)$, $m(bE) = |b|m(E)$이다.

모든 한 원소 집합의 르베그 측도는 $0$이므로 가산 가법성에 의해 가산 집합의 측도는 $0$이다. 따라서 리만적분으로는 측정할 수 없던 유리수 전체 집합의 측도는 $0$이다. 한편 칸토어 집합과 같이 비가산 집합임에도 측도 $0$인 집합이 존재한다. 르베그 비가측 집합의 예시는 비탈리 집합이다.

르베그 측도를 이용하여 전개된 적분 이론을 르베그 적분이라고 한다. 르베그 적분론은 기존의 리만 적분이 가지고 있던 문제를 해결하였으며, 함수 공간에 완비성을 부여하여 함수해석학의 발전에 결정적인 역할을 했다.

하르 측도(Haar measure)는 국소 컴팩트 하우스도르프 위상군에서 평행이동에 불변인 라돈 측도이다. 왼쪽 평행이동에 불변인 경우 왼쪽 하르 측도, 오른쪽 평행이동에 불변인 경우 오른쪽 하르 측도라고 한다. 하르 측도는 양의 스칼라배를 제외하고 유일하다.

측도는 실해석학의 기본으로 확률론쪽에서 굉장히 많이 쓰인다. 확률이라는 개념 자체를 '확률 측도(probability measure)'라는 개념으로 엄밀하게 따지는데, 위에서 언급한 측도에 한 가지 조건이 추가된다.

가측공간 $(\Omega, \mathcal{F})$[4]에 대하여 측도 $P :\mathcal{F} \to [0, 1]$가 아래의 조건을 추가로 만족할 때

측도 $P$를 $(\Omega, \mathcal{F})$ 위의 확률 측도라고 하며, 이러한 측도가 부여된 가측 공간 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$를 확률 공간(probability space)이라고 한다.

그 외에도 하우스도르프 측도를 굉장히 많이 사용한다.

물리학의 경우 통계역학으로 가면 '깁스 측도' 라는, 바른틀 앙상블을 확장시킨 개념을 만나볼 수 있다. 양자역학에선 힐베르트 공간이 완비성을 가진다는 성질을 자주 사용하는데, 완비성을 실제로 보이기 위해선 측도공간과 적분가능성에 대한 논의가 필요하다.

전산학의 경우, 베이즈 통계학에 기반한 방법론들이 판을 치고 있는 것과는 별개로 측도론을 사용해서 엄밀한 접근을 하는 경우가 있다.