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칸토어 집합

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Cantor set

1. 개요2. 정의3. 성질

1. 개요[편집]

실수에서 닫힌 구간 [0,1] \left[0, 1 \right] 를 3등분해나가면서 가운데 것을 제거하는 작업을 반복하여 얻는 집합이다. 프랙털의 일종이기도 하며, 해석학위상수학에서 특이한 예시를 만드는 데 사용되곤 한다.

2. 정의[편집]

C0=[0,1] C_0 = \left[0, 1 \right] 라고 하자. 이때 집합열 (Cn) \left( C_n \right)을 다음과 같은 점화식으로 정의한다.

Cn+1:=13Cn(23+13Cn)={x3:xCn}{23+x3:xCn}\displaystyle C_{n+1} := \frac{1}{3}C_n \cup \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}C_n \right) = \left\{ \frac{x}{3} : x \in C_n \right\} \cup \left\{ \frac{2}{3} + \frac{x}{3} : x \in C_n \right\}

그러면 칸토어 집합 C C 는 다음과 같은 집합이다.

C=n=0Cn\displaystyle C = \bigcap_{n=0}^{\infty} C_n

3. 성질[편집]

3.1. 3진법 표현[편집]

위 정의에 따라 (Cn) \left( C_n \right)

C0=[0,1]C1=[0,13][23,1]C2=[0,19][29,13][23,79][89,1] \displaystyle \begin{aligned} C_0 &= \left[0, 1 \right] \\ C_1 &= \left[0, \frac{1}{3} \right] \cup \left[\frac{2}{3}, 1 \right] \\ C_2 &= \left[0, \frac{1}{9} \right] \cup \left[\frac{2}{9}, \frac{1}{3} \right] \cup \left[\frac{2}{3}, \frac{7}{9} \right] \cup \left[\frac{8}{9}, 1 \right] \\ &\vdots\end{aligned}

과 같은 식으로 나아간다. 닫힌 구간 [0,1] \left[0, 1 \right] 의 원소 rr를 3진법으로 다음과 같이 나타내었다고 하자.

r=0.a1a2a3(3)r=0.a_1 a_2 a_3 \cdots _{(3)}

단, 이러한 3진법 표현을 유일하게 만들기 위해 1다음에 0이 계속 이어지거나 2가 계속이어지는 표현은 허용하지 않기로 한다. 예를 들어 1/3의 경우

13=0.1000(3)=0.0222(3)\displaystyle \frac{1}{3} = 0.1000\cdots_{(3)} = 0.0222\cdots_{(3)}

에서 0.0222(3)0.0222\cdots_{(3)} 만 허용한다. 2/3의 경우에는

23=0.2000(3)=0.1222(3)\displaystyle \frac{2}{3} = 0.2000\cdots_{(3)} = 0.1222\cdots_{(3)}

에서 0.2000(3)0.2000\cdots_{(3)} 만 허용한다. 그러면 rC1r \in C_1일 때 a1=0 or 2a_1 = 0 \ \text{or} \ 2이다. 이에 더해 rC2r \in C_2이려면 a1=0 or 2a_1 = 0 \ \text{or} \ 2이고, a2=0 or 2a_2 = 0 \ \text{or} \ 2이어야 한다. 이런 과정을 반복하면, 칸토어 집합 C C 는 다음과 같이 표현할 수 있다.

C={r[0,1]:r=n=1an3n, an=0 or 2}\displaystyle C = \left\{ r \in \left[0, 1 \right] : r = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{3^n} , \ a_n = 0 \ \text{or} \ 2 \right\}

즉, C C 의 원소들은 3진법 전개에서 0과 2만 나타나는 실수와 같다.

3.2. 원소의 개수[편집]

C C 의 원소의 개수는 구간 [0,1] \left[0, 1 \right] 의 원소의 개수와 같다. 0 또는 2의 값만을 가지는 수열 (an) \left( a_n \right) 이 있을 때, C C 의 원소들은 n=1an3n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{3^n} 의 꼴로 나타내어지므로, 함수 f:C[0,1] f: C \to \left[0, 1 \right] 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

f(n=1an3n)=n=1an/22n\displaystyle f\left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{3^n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n /2}{2^n}

그러면 f f 는 전사함수가 된다. 한편 C C [0,1] \left[0, 1 \right] 의 부분집합이므로 슈뢰더-베른슈타인 정리에 의하여,

card(C)=card([0,1])=20\displaystyle \text{card}(C) = \text{card}\left( \left[0, 1 \right] \right) = 2^{\aleph_{0}}

이다. 한편 Cn C_n 에서 구간의 끝점들을 모은 집합을 Dn D_n 이라 하자. 즉, Dn D_n

D0={0,1}D1={0,13,23,1}D2={0,19,29,13,23,79,89,1} \displaystyle \begin{aligned} D_0 &= \left\{0, 1 \right\} \\ D_1 &= \left\{0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1 \right\} \\ D_2 &= \left\{0, \frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{7}{9}, \frac{8}{9}, 1 \right\} \\ &\vdots\end{aligned}

과 같은 식으로 정의된다. 이때 D=n=0Dn\displaystyle D = \bigcup_{n=0}^{\infty} D_n 라 하면 DC D\subset C 이다. 즉, D D (Cn) \left( C_n \right)에서 구간의 끝점들을 전부 모은 집합이며, 이 점들은 모두 C C 에 속한다. 그런데 각각의 Dn D_n 은 유한집합이므로 Dn D_n 들을 가산개 합집합한 D D 는 가산집합이다. 따라서 다음이 성립한다.

0=card(D)<card(CD)=20.\displaystyle \aleph_{0} = \text{card}(D) < \text{card}\left( C\setminus D \right) = 2^{\aleph_{0}}.

3.3. 길이[편집]

Cn C_n 은 길이가 13n\displaystyle \frac{1}{3^n} 인 구간이 2n2^n 개 만큼 있는 집합이므로 길이가 2n3n\displaystyle \frac{2^n}{3^n} 이다. 그러면 C C 의 길이는 limn2n3n=0\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{2^n}{3^n} = 0이 된다.