나비에-스토크스 방정식

Navier-Stokes equations

나비에-스토크스 방정식은 점탄성이 없는 유체(Newtonian fluid)[1]의 작용하는 힘과 운동량의 변화를 기술하는 비선형 편미분 방정식이다.

프랑스 물리학자 클로드루이 나비에와 영국 수학자 조지 스토크스가 뉴턴의 운동 제2 법칙(F=ma)를 유체 역학에서 사용하기 쉽게 바꾼 것이다. 이 방정식은 물리학의 수많은 곳에서 널리 사용되고 있다.

수학적인 관점에서 보자면, 이 방정식이 3차원(또는 시간을 포함한 4차원 시공간)상에 해가 항상 존재하는지, 존재한다면 해를 어떻게 구하는지, 특이점은 없는지, 매끄러운지 등이 증명되지 않았다. 이렇기 때문에 공학 최전선에서조차 전산유체역학에 의존한다. 이 문제를 수학적인 관점에서 해결하라는 것이 밀레니엄 문제이다. 현재까지 미해결 문제로서, 푼 사람에게 상금 100만 달러가 수여된다.

유체 역학을 공부할 경우 반드시 거쳐가는 관문(?)이다. (ABET을 실시하는 미국 공학 과정에서도 2학년 이전에 지나가는 관문이다).

$\displaystyle \frac{ \partial }{ \partial t } \left( \rho \mathbf{u} \right) + \nabla \cdot \left( \rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} + p \mathbf{I} \right) = \nabla \cdot \tau + \rho \mathbf{g}$

가장 기본적인 형태. 응력과 변형률의 관계를 나타내지 않은 상태이다.

비압축성일 경우 식이 상당히 간단해진다. 저게??

• 먼저 벡터를 사용해서 나타낸 식[5] 벡터의 수많은 존재 이유 중 하나

$\displaystyle \frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t } + \left(\mathbf{u} \cdot \nabla\right) \mathbf{u} - \nu \nabla^2 \mathbf{u} = -\nabla w + \mathbf{g}$

• 직교좌표에서 텐서를 사용해서 나타낸 식.

$\displaystyle \left( \frac{ \partial }{ \partial t } + u_j \frac{ \partial }{ \partial x_j } - \nu \frac{ \partial^2 }{ { \partial x_j }^2 } \right) u_i = - \frac{ \partial w }{ \partial x_i } + g_i$

• 스칼라를 사용해서 나타낸 식

$\displaystyle x: \rho \left( \frac{ \partial }{ \partial t } + u_x \frac{ \partial }{ \partial x } + u_y \frac{ \partial }{ \partial y } + u_z \frac{ \partial }{ \partial z } \right) u_x =$
$\displaystyle \; \; \; \; -\frac{ \partial p }{ \partial x } + \mu \left( \frac{ \partial^2 }{ { \partial x }^2 } + \frac{ \partial^2 }{ { \partial y }^2 } + \frac{ \partial^2 }{ { \partial z }^2 } \right) u_x + \mu \frac{ \partial }{ \partial x } \left( \frac{ \partial u_x }{ \partial x } + \frac{ \partial u_y }{ \partial y } + \frac{ \partial u_z }{ \partial z } \right) + \rho g_x$

$\displaystyle y: \rho \left( \frac{ \partial }{ \partial t } + u_x \frac{ \partial }{ \partial x } + u_y \frac{ \partial }{ \partial y } + u_z \frac{ \partial }{ \partial z } \right) u_y =$
$\displaystyle \; \; \; \; -\frac{ \partial p }{ \partial y } + \mu \left( \frac{ \partial^2 }{ { \partial x }^2 } + \frac{ \partial^2 }{ { \partial y }^2 } + \frac{ \partial^2 }{ { \partial z }^2 } \right) u_y + \mu \frac{ \partial }{ \partial y } \left( \frac{ \partial u_x }{ \partial x } + \frac{ \partial u_y }{ \partial y } + \frac{ \partial u_z }{ \partial z } \right) + \rho g_y$

$\displaystyle z: \rho \left( \frac{ \partial }{ \partial t } + u_x \frac{ \partial }{ \partial x } + u_y \frac{ \partial }{ \partial y } + u_z \frac{ \partial }{ \partial z } \right) u_z =$
$\displaystyle \; \; \; \; -\frac{ \partial p }{ \partial z } + \mu \left( \frac{ \partial^2 }{ { \partial x }^2 } + \frac{ \partial^2 }{ { \partial y }^2 } + \frac{ \partial^2 }{ { \partial z }^2 } \right) u_z + \mu \frac{ \partial }{ \partial z } \left( \frac{ \partial u_x }{ \partial x } + \frac{ \partial u_y }{ \partial y } + \frac{ \partial u_z }{ \partial z } \right) + \rho g_z$

• 구면좌표계

$\displaystyle r: \rho\left(\frac{\partial u_{r}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{r}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r\sin\theta}\frac{\partial u_{r}}{\partial\phi}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_{r}}{\partial\theta}-\frac{u_{\phi}^{2}+u_{\theta}^{2}}{r}\right)=$
$\displaystyle \; \; \; \; -\frac{\partial p}{\partial r}+\rho g_{r}+\mu\left[\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial u_{r}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}u_{r}}{\partial\phi^{2}}+\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u_{r}}{\partial\theta}\right)-2\frac{u_{r}+\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}+u_{\theta}\cot\theta}{r^{2}}-\frac{2}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}\right]$

$\displaystyle \phi: \rho\left(\frac{\partial u_{\phi}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r\sin\theta}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\theta}+\frac{u_{r}u_{\phi}+u_{\phi}u_{\theta}\cot\theta}{r}\right)=$
$\displaystyle \; \; \; \; -\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial p}{\partial\phi}+\rho g_{\phi}+\mu\left[\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}u_{\phi}}{\partial\phi^{2}}+\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\theta}\right)+\frac{2\sin\theta\frac{\partial u_{r}}{\partial\phi}+2\cos\theta\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\phi}-u_{\phi}}{r^{2}\sin^{2}\theta}\right]$

$\displaystyle \theta: \rho\left(\frac{\partial u_{\theta}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r\sin\theta}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\phi}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}+\frac{u_{r}u_{\theta}-u_{\phi}^{2}\cot\theta}{r}\right)=$
$\displaystyle \; \; \; \; -\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial\theta}+\rho g_{\theta}+\mu\left[\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}u_{\theta}}{\partial\phi^{2}}+\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}\right)-\frac{2}{r^{2}}\frac{\partial u_{r}}{\partial\theta}-\frac{u_{\theta}+2\cos\theta\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}}{r^{2}\sin^{2}\theta}\right]$

• 원통좌표계

$\displaystyle r: \rho\left(\frac{\partial u_{r}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{r}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r}\frac{\partial u_{r}}{\partial\phi}+u_{z}\frac{\partial u_{r}}{\partial z}-\frac{u_{\phi}^{2}}{r}\right)=$
$\displaystyle \; \; \; \; -\frac{\partial p}{\partial r}+\rho g_{r}+\mu\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u_{r}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}u_{r}}{\partial\phi^{2}}+\frac{\partial^{2}u_{r}}{\partial z^{2}}-\frac{u_{r}}{r^{2}}-\frac{2}{r^{2}}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}\right]$

$\displaystyle \phi: \rho\left(\frac{\partial u_{\phi}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}+u_{z}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial z}-\frac{u_{r}u_{\phi}}{r}\right) =$
$\displaystyle \; \; \; \; -\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial\phi}+\rho g_{\phi}+\mu\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}u_{\phi}}{\partial\phi^{2}}+\frac{\partial^{2}u_{\phi}}{\partial z^{2}}-\frac{u_{\phi}}{r^{2}}+\frac{2}{r^{2}}\frac{\partial u_{r}}{\partial\phi}\right]$

$\displaystyle z: \rho\left(\frac{\partial u_{z}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{z}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r}\frac{\partial u_{z}}{\partial\phi}+u_{z}\frac{\partial u_{z}}{\partial z}\right)=$
$\displaystyle \; \; \; \; -\frac{\partial p}{\partial z}+\rho g_{z}+\mu\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u_{z}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}u_{z}}{\partial\phi^{2}}+\frac{\partial^{2}u_{z}}{\partial z^{2}}\right]$

어때요, 참 쉽죠?

이때는 식이 더 간단해진다.

$\displaystyle \frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t } + \left(\mathbf{u} \cdot \nabla\right) \mathbf{u} = -\nabla w + \mathbf{g}$

위 incompressible과 비교해보면, 비점성인 경우에는 μ=0이기 때문에 3번째 항이 사라졌다. 만세

이 식은 오일러 방정식이라고도 한다. 참고로 공대가 아니더라도 1학년때도 만나 볼수 있는데, 공돌이 타입 교수나 조교들이 다변수 미적분 파트에서 연습문제나 시험으로 종종 낼때도 있다.

$\displaystyle \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} = - \frac{1}{\rho} \nabla \bar{p} + \nu \nabla^2 \mathbf{u} + \frac{1}{3} \nu \nabla (\nabla \cdot \mathbf{u}) + \mathbf{g}$

비압축성에 비해 항이 좀 더 많아졌다. 스칼라식 풀이는 이하생략.

이것까지 학부에서 해결하기엔 시간이 부족해서 3학년 2학기나 4학년 초에 실용적인거 열몇가지 정도만 강제로 주입시키고[7] 졸업장 줘서 내보낸다, 사실 일반적인 공학 입장에서는 저 열 몇가지면 대체로 실용면에선 끝이라 봐도 무방하고, [8] 이거랑 일반항을 본격적으로 파는건 이제 대학원 가서 하게 된다.

유체역학의 가장 기본이 되는 지배방정식 (governing equation). 물과 공기를 비롯해 점성을 가진 대부분의 기체와 액체의 운동을 나타내는 비선형 편미분 방정식이다.[9][10] 프랑스 물리학자 클로드 루이 나비에와 영국 수학자 조지 스토크스의 이름을 따왔다.

나비에-스토크스 방정식은 뉴턴의 제2법칙인 F=ma를 유체역학에서 사용하기 편하게 그 형태를 바꾼 것이다. 유체는 고체와 달리 정해진 형태가 없기 때문에 우리가 흔히 역학 하면 생각하는 '고정된 좌표계'에서의 분석이 불가능하다. 따라서 유체에 뉴턴역학을 적용하기 위해서는 다른 방식이 필요하고, 이 방식에 따라 운동량 보존 법칙을 재정리한 것이 이 방정식이다. 따라서 이 방정식은 운동량 보존법칙이라고 불리기도 한다. 물리학에서 대표적으로 보존되는 물리량 중에서 유체역학에서 중요시하는 물리량은 질량, 운동량, 에너지로, 이 세 물리량의 보존법칙[11]이 유체역학의 지배방정식이 되고, 그중 가장 복잡하고 중요한 방정식이 이 나비에-스토크스 방정식이다. 때때로 질량 보존 법칙[12]까지 합쳐서 나비에-스토크스 방정식이라고 부를 때도 있다.

기계공학, 항공우주공학 전공 대학생이라면 2~3학년 때 처음 이 방정식을 접하게 된다. 물론 토목공학, 화학공학 등의 유체를 다루게 되는 학과에서도 배울 수 있다.

$\mathbf{u}$는 유체의 속도, $\mathbf{g}$는 중력가속도, $\rho$[13]는 밀도, $p$는 압력, $\mu$[14]는 점성계수, $\nu$[15]는 점성계수를 밀도로 나눈 값, $w$는 압력을 밀도로 나눈 값, $\mathbf{I}$는 단위행렬, $\otimes$는 텐서곱을 나타낸다. 비행기가 공중에 뜰 수 있는 것도, 기상청에서 아직 오지도 않은 며칠 후의 날씨를 예측할 수 있는 것도 이 방정식과 관련이 있다.

문제는... 이 방정식이 지금까지 알려진 것 중에 (해석적인) 해를 구하기 가장 어려운 편미분방정식 중 하나라는 것이다. 이 방정식을 풀기 어렵게 만드는 범인은 위의 방정식의 좌변 두 번째 항( $\nabla \cdot \left( \rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} + p \mathbf{I} \right)$ )으로, 이 항(advective term)[16]이 비선형[17]이기 때문에 해를 구하기가 어렵게 된다. 게다가 압축성의 경우에는 우변 맨 마지막의 점성항도 비선형( $\mu \nabla^2 \mathbf{u} \rightarrow \nu \nabla^2 \mathbf{u} + {1 \over 3} \nu \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf{u}\right)$ )으로 변한다. 몇몇 특수한 경우의 풀이법[18]은 알려져 있지만 일반적인 풀이법은 알려져 있지 않다. 심지어는 일반적인 풀이법이 있는지 없는지조차 아직 모른다... 이 방정식의 일반적인 풀이법[19]을 알아내거나, 이러한 풀이법이 존재하지 않음을 증명하는 것은 Navier–Stokes existence and smoothness라는 이름으로 밀레니엄 문제로 선정되었으며, 현재 100만 달러의 상금이 걸려 있다.[20]

우리 주변에 항상 존재하는 공기와 물의 움직임을 기술하는 방정식이기 때문에 밀레니엄 문제 가운데 가장 실생활과 가깝게 연관된 문제이기도 하다. 예를 들면 난류(turbulence) 현상은 주변에서 흔히 볼 수 있고 많이 연구되어 있지만 아직도 학자들은 난류가 정확히 어떻게 나타나는지에 대해 모두 설명할 수가 없다.[21]

어쨌든 이 나비에-스토크스 방정식의 일반적인 풀이법이 알려져 있지 않기 때문에, 유체의 움직임을 예측하려면 컴퓨터를 동원해서 이 방정식을 시뮬레이션하여 수치적으로 구하는 것이 유일한 방법이다. 이를 전산유체역학(Computational Fluid Dynamics, 줄여서 CFD)이라고 부른다. 그런데 수치해석을 통해 구한다는 것은 수학적 엄밀해가 아니라 실용적으로 쓸 수 있는 '근사 값'을 구한다는 것이다. 보통 흐름이 복잡하지 않고 단순하다면 그 근사 값은 실제 현상과 거의 동일하며 오차는 소수점 한참 아래 수준이 된다. 문제는 수학적 엄밀해가 아니므로 오차가 생길 수 있으며, 근사 값을 구할 때 사용한 가정(경계조건이나 난류항, 격자의 개수 등)이 잘못 되었거나 하면 실제와 다른 결과가 나온다. 이 때문에 수퍼컴퓨터를 동원해도 변수가 많은 일기예보가 종종 틀린다. 더 자세한 내용은 전산유체역학 참조.

푸앵카레 추측을 증명해낸 희대의 은둔 수학자 그리고리 페렐만이 이 문제에 관심을 가지고 연구 중이라는 명확치 않은 소문이 있다. 만약 그게 사실이라면 이 문제도 풀릴 날이 멀지 않은걸까?

만약 이것이 일반적인 해가 존재하는 방향으로 풀릴경우 단순히 완벽한 기상예보를 넘어, 기상을 컨트롤 하는것도 가능해지며 내연기관의 효율성의 압도적인 향상은 물론, 사실 이것도 약과고 정말 상상속의 마법같은 일 여러가지가 가능해질것이다.

만화 바텐더에도 잠시 언급되는데, 사사쿠라 류의 단골 중 하나인 수학자가 이 나비에-스토크스 방정식의 증명에 상당히 도달했다는 식의 설정으로 등장한다.

히가시노 게이고의 소설 라플라스의 마녀에서도 핵심 주제로 등장한다. 특정한 뇌 수술을 받은 사람이 무의식적으로 이 문제를 해결했다는 설정. 며칠 후의 날씨를 정확히 예측하고, 3층 높이에서 종이를 떨어트려서 정확한 곳에 안착시키는 기행을 보여준다.

2014년 1월 11일에 카자흐스탄 교수인 무흐타르바이 외텔바예프(Мұхтарбай Өтелбаев)가 이 방정식의 전역적(global)이고 연속적인 해가 존재함을 증명했다고 http://bnews.kz/en/news/post/180213/발표했으나 결국 검증 끝에 해당 증명은 틀렸다고 판명되었다 #

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