원환면

torus · 圓環面

원을 회전축으로부터 떨어진 상태에서 회전축으로 하여금 회전시켰을 때, 얻어지는 위상 도형.

반지름이 $r$이고, 중심이 ${\rm P}(a,\,b)$인 원 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$을 고려하자.

$b \geq r$일 때, 이 원을 $x$축으로 하여금 회전시키면, 원환면이 얻어지게 된다.

아랫 문단부터는 계산을 간단하게 하기 위해서 $a=0$인 경우를 살펴보자.

이제 원환면의 부피와 겉넓이를 구해보자.

우선 그 작업을 위해 음함수를 양함수로 바꾼다.

부피는 다음과 같은 적분 과정을 통해 구할 수 있다. 과정은 정적분 문서 참조한다. 상반원에 의한 부피에서 하반원에 의한 부피를 빼면 된다.

따라서 다음과 같다.

다음과 같이 정의하자.

이것은 곧 원환면을 정사영시켰을 경우 바깥쪽 원의 반지름을 $o$, 안쪽 원의 반지름을 $\iota$라고 쓸 수 있을 것이다.

따라서 원환면의 부피 $V$는

가 된다.

이번엔 겉넓이를 구해보자. 겉넓이는

다만 여기서는 상반원에 의한 겉넓이와 하반원에 의한 겉넓이를 더해줘야 한다는 것에 유의한다.

우선 상반원에 대해서

하반원에 대해서

이것을 더하면,

이상에서 겉넓이 $S$를 구하는 적분은

이상에서 원환면의 부피와 겉넓이는 다음과 같이 정리할 수 있다.

여러 개의 원환체나 여러 개의 구멍을 가진 하나의 물체를 $n$-hole tori로 일컫기도 한다.

일단 일반적인 도넛 모양인 $1$개의 구멍을 갖는 원환면의 개념으로만 기술한다.

위상기하학에서의 기본적인 정의는 $S^1 \times S^1$ 으로 두 원의 곱집합과 위상동형[1]이다. 따라서 손잡이가 있는 컵은 다음의 그림과 같이 도넛과 위상 동형이라고 할 수 있다.



좌표평면에서 $(x,\,y)$, $(x+1,\,y)$, $(x,\,y+1)$로 각각의 좌표가 modulo 1 덧셈와 같은 효과를 가진 형태이며, 이는 결국 가로 세로가 1인 단위 사각형의 각 변을 시계방향을 정방향으로 $aba^{-1}b^{-1}$으로 설정한 형태로 정리한 그림이 아래와 같다.



이것을 같은 index를 가진 변끼리 붙여주면 쉽게 3차원의 익숙한 원환면가 되므로 이 사각형 역시도 원환면와 위상동형의 관계. 이 사각형의 각 꼭지점은 동일한 것은 3차원 공간에서 볼 때 자명하다. 임의의 index가 붙은다각형이 최종적으로 $aba^{-1}b^{-1}$ 의 형태를 갖는다면 1-토러스로 볼 수 있다는 뜻이다.

굳이 원의 곱집합이라고 해서 일반적인 도넛 모양일 필요는 없다. 회전하는 로봇 팔 ${S^1}_{a}$이 회전축과 반대되는 끝을 회전축으로 하는 다른 회전하는 로봇 팔 ${S^1}_{b}$과 연결되어있다면 그것만으로도 원환면의 정의를 만족할 수 있기 때문에 위상동형[2]이다.

나아가, $n$-hole tori가 있을 수 있는데 이는 $n$개의 구멍이 뚫려 있는 '하나의' 위상기하학적 물체 혹은 공간으로 $abcd...a^{-1}b^{-1}c^{-1}d^{-1}...$ 으로 표현할 수 있다. 구멍 한개당 index 문자가 하나씩 더 늘어나는 식으로 기술할 수 있으며 당연히 단위 사각형이 아니라 $2n$각형[3]으로 표현한다. 1-토러스와 마찬가지로 임의의 index가 붙은 다각형이 최종적으로 위와 같은 index 식의 다각형이라면 $n$-hole tori이다.