선호관계

선호관계(選好關係, preference relation)란 소비자가 선택할 수 있는 임의의 두 대안(alternative) 혹은 소비묶음(consumption bundle) 중 어떤 것을 더 좋아하는지를 표시하는 체계를 말한다. 비교 대상이 무엇이 되더라도 어떤 것이 더 선호되는지를 표시할 수 있으므로, 취향이라는 지극히 주관적인 대상을 수학적으로 엄밀하게 표시하는 경제학의 유용한 개념이다.

실제로 소비자가 선택할 수 있는 소비묶음은 너무나도 많기 때문에 소비자의 선호관계를 일일이 표시하는 것은 일반적으로 불가능에 가까운데, 수학적으로 일부 예외적인 경우를 제외하면 대부분의 선호관계를 하나의 함수로 나타낼 수 있음이 증명되어 있다. 이 함수를 효용함수(效用函數, utility function)라고 한다. 그래서 선호관계와 효용함수는 연관이 매우 깊은데, 이 문서에서는 선호관계 자체에 대해서만 설명하고 이를 함수로 나타내는 방법론은 효용함수 문서를 참고하자.

소비자의 선호의 대상이 되는 모든 선택의 집합을 $X$라 하면, 선호관계는 집합 $X$의 임의의 두 원소 사이의 선호되는 순서를 표시한다. 서로 다른 두 선택 $x$와 $y$에 대하여 소비자가 $x$를 더 선호하면 $x$가 $y$보다 강선호(強選好)된다고 하고($x$ is strictly prefered to $y$), 선호하는 정도가 동일하면 $x$와 $y$가 무차별(無差別)하다고 하며(indifferent between $x$ and $y$), $x$가 $y$보다 강선호되거나 둘이 무차별하면 $x$가 $y$보다 약선호(弱選好)된다고 한다($x$ is weakly prefered to $y$). 기호로는 다음과 같이 표기한다.

또한 다음이 성립한다.

그래서 강선호나 약선호 중 하나만을 이용해도 모든 선호관계를 제대로 표시할 수 있다. 먼저 약선호를 맨 처음으로 정의해 보자.

약선호는 이항 관계(binary relation)의 일종으로, $x\gtrsim y$는 물론 $x$가 $y$보다 못하지 않다는 뜻이다. 여기에서 강선호와 무차별은 약선호로부터 도출될 수 있다. 강선호와 무차별은 다음과 같이 정의된다.

선호관계라면 모름지기 만족시켜야 한다고 여겨지는 성질들을 가정으로 만든 것이다. 이 공리들은 소비자이론을 논리 정연하게 전개하는 데에 필수적이며, 경우에 따라서 적용하는 공리가 다를 수는 있다.

完全性 / completeness

완전성이란 임의의 두 소비묶음을 '비교'할 수 있어야 한다는 가정으로, 번역에 따라서는 완비성(完備性)이라고도 한다. 두 소비묶음 $x$와 $y$에 대하여, $x$와 $y$ 중 하나를 약선호해야 한다고 표현할 수 있다.


여기에서 약선호를 강선호로 바꿔서는 안 되는데, 그 이유는 $x\sim y$인 경우를 포괄하지 못하기 때문이다. 완전성을 조금 더 이해하기 쉽게 표현하면 다음과 같다.

反射性 / reflexivity

반사성은 모든 소비묶음이 자기 자신에 대하여 가져야 할 자명한 성질을 나타내는 가정이다.

반사성은 사실 그 자체로 독립적인 공리가 아니며, 완전성으로부터 도출될 수 있는 성질이다. 완전성의 공리에서 $x$와 $y$를 둘 다 $x$로 정하면 바로 도출된다. 따라서 반사성은 다음과 같이 세 가지 방식으로 나타낼 수 있다.


다시 말해서 임의의 소비묶음 $x$는 적어도 하나의 소비묶음, 곧 $x$ 자기 자신보다는 약선호된다. 말을 바꾸면, $x$는 $x$ 자기 자신보다 강선호되지 않는다. 약선호라는 것은 강선호되거나 무차별하다는 뜻인데, 강선호되지 않는다면 남은 가능성은 $x$가 $x$ 자기 자신과 무차별한 것밖에 없다. 따라서 위 세 표현 모두가 반사성을 나타낸다고 할 수 있다.

移行性 / transitivity

이행성은 선호관계가 '순환(cycle)'하지 않을 것을 요구하는 가정이다. 곧, 임의의 세 소비묶음 $x$, $y$, $z$에 대하여 다음이 성립해야 한다.


곧, $x$가 $y$보다 선호되고 $y$가 $z$보다 선호되면 $x$가 $z$보다 선호되어야 한다. 만약 이행성이 위배되어 $z$가 $x$보다 선호되면 $x$, $y$, $z$ 사이에 끝없는 순환이 발생하게 된다.

local nonsatiation이라는 용어는 한국에서 합의된 번역이 딱히 없는 상태이다.[2] 번역한다면 '국소적 비포만' 정도가 된다. 이 문서에서는 local nonsatiation의 약칭인 LNS로 부르기로 한다.

LNS는 연속성과 더불어 다소 복잡한 공리로, 그 내용은 모든 소비묶음 $x\in X$와 모든 양수 $\varepsilon$에 대하여, $X$에 속하는 또 다른 소비묶음 $y$가 존재하여 다음이 성립한다는 것이다.


이때 $\|y-x\|$는 유클리드 노름으로, $n$차원 공간상에서의 두 소비묶음 $x$와 $y$ 간 거리를 뜻한다. 이를 $2$차원 공간에서 시각적으로 이해해 보자.


원의 정의는 한 점으로부터의 거리가 같은 모든 점의 집합이므로, 점 $x$를 중심으로 하고 반지름이 $\varepsilon$인 원, 소위 '$\varepsilon$-ball'에 대하여, 점 $x$보다 선호되는 점 $y$가 이 원 내부에 들어오면 LNS가 충족된다고 할 수 있다. $2$차원 공간에서의 LNS의 조건은 제$1$사분면 위[3]에서 어떤 점을 잡더라도, 또한 그 점을 중심으로 하여 어떤 크기의 원을 그리더라도 그 원 내부에는 원의 중심에 있는 점보다 선호되는 점이 적어도 하나 존재해야 한다는 것이다.

이때, '어떤 크기의 원을 그리더라도'라는 말은 결국 '아무리 원을 작게 그려도'라는 말로 바꿀 수 있다. 모든 $x$와 어떤 양수 $\varepsilon_0$에 대하여 $\|y-x\|<\varepsilon_0$ 및 $y\succ x$가 성립하는 점 $y$가 존재함을 보였다고 하자. 그러면 $\varepsilon>\varepsilon_0$인 경우에 대해서는 굳이 증명할 필요가 없다. 왜냐하면 반지름이 $\varepsilon_0$인 원 내부에 이미 $x$보다 선호되는 점 $y$가 존재하면, 그보다 큰 원을 그려도 여전히 점 $y$는 원 내부에 있을 것이기 때문이다. 즉, 추가로 증명해야 할 부분은 $\varepsilon<\varepsilon_0$인 경우뿐이다. 다시 말하면 증명의 방향은 자연스럽게 원이 작아지는 쪽으로 향하게 된다. 점 $x$보다 선호되는 점 $y$를 내부에 포함하는 원이 아무리 작다 하더라도, 그 원의 반지름이 $0$보다는 큰 이상 그 점 $y$가 원 내부에 들어오지 않을 만큼 충분히 작은 새로운 원을 그릴 수가 있으며 이때는 이렇게 더 작아진 원 안에서 $x$보다 선호되는 점을 새로 찾아 주어야 하는 것이다.

만약 LNS가 위배되면, 그 원 내부에서는 원의 중심에 있는 점이 가장 선호된다. 이는 해당 원이라는 국소적인(local) 영역에서 원의 중심이 '포만해진다(satiated)'는 의미가 된다. LNS라는 조건의 의미는 어느 한 점에 대해서도 그 점에서의 거리가 일정 거리 이하인 '국소적(local)' 영역에서 그 점이 '포만점(satiated point, 가장 선호되는 점)'[4]이 되어서는 안 된다는 것이다. 이것이 바로 용어 local nonsatiation이 뜻하는 바이다.

위와 같은 $2$차원 공간에서의 LNS는, $x=(x_1,\,x_2)$, $y=(y_1,\,y_2)$라 하면 모든 $x$와 $\varepsilon$에 대하여


이 성립하는 점 $y$가 존재해야 할 조건이라고 할 수 있다.

연속성은 선호관계의 공리 중 가장 이해하기 어렵다. '실수의 완비성'을 이용해 정의하는 만큼, 이를 직관적으로 이해하기에는 다른 공리에 비해 복잡해서, 학부 수준에서는 연속성이라는 공리를 언급하기는 하나 정확한 정의는 대학원 과정으로 미룬다. 쉽게 말하면 연속성이란 선호관계가 '갑작스럽게' 변하지 않을 조건을 의미하는데, 달리 말하면 아주 작은 변화에 의하여서는 선호관계가 쉽사리 뒤바뀌지 않아야 한다는 말과도 같다.[5] 무차별곡선 등을 잘 정의하는 등 수학적 편의를 위해서 연속성이라는 조건을 추가한다. 대표적인 반례가 '사전 편찬식 선호관계(lexicographic preference relationship)'로, 이 선호관계가 불연속이므로 이를 표현하는 효용함수가 잘 정의되지 않는다.

위에서 소개한 대부분의 가정들은 일견 자명하게 성립할 수밖에 없는 것처럼 보이지만, 잘 들여다보면 이런 가정들이 위배되는 경우들이 있다.

당연히 두 대안이 있으면 사람으로서 자신의 취향을 생각해서 잘 비교할 수 있는 것 아닌가 할 수 있지만, 잘 들여다보면 완전성의 가정이 위배되는 경우를 여럿 찾을 수 있다.

이행성은 일견 당연해 보이는 성질이지만, 이행성이 위배되는 경우도 찾아볼 수 있다. 실제로 이행성은 선호관계의 공리 중에서 가장 논란이 많은 공리로, 여러 실험의 결과 다양한 상황에서 실제 인간들의 선호가 항상 이행성을 충족하지는 못하는 현상이 나타났다.

또한 다음과 같이 사회적 선호가 이행성을 위배하기도 한다.

완전성과 이행성을 만족시키는 선호관계를 합리적 선호관계(rational preference relation)라고 한다.