지출극소화 문제

특정 수준의 효용을 가져다주는 소비묶음은 일반적으로 무수히 많다. 이때, 어차피 같은 효용이라면 조금이라도 지출을 덜 할 수 있다면 그것이 소비자에게는 합리적 선택일 것이다. 주어진 수준의 효용을 주어진 가격하에서 최소한의 금액으로 얻으려면 각 재화를 얼마나 소비해야 하는가? 그리고 그때의 지출액은 얼마인가? 이것을 가리켜 지출극소화 문제(支出極小化 問題, expenditure minimization problem)라고 한다.

소비자가 소비할 수 있는 가장 효용이 높은 소비묶음을 찾아내는 효용극대화 문제와 양대 산맥을 이루는, 소비자이론에서 매우 중요한 주제이다.[1]

지출극소화 문제의 논리는 효용극대화 문제와 아주 유사하며, 보통 효용극대화 문제를 먼저 학습하는 만큼 자세한 논리는 효용극대화 문제 문서를 참고하자.

효용함수가 $U(x_1,\,x_2)$이고 주어진 효용이 $u$라고 하자. 그러면 소비자는 무차별곡선 $U(x_1,\,x_2)=u$ 위에 있는 소비묶음을 선택해야 한다. 지출의 극소화를 달성하려면, 이 무차별곡선상의 수많은 소비묶음 중에서 가장 지출이 적은 것을 찾아내야 한다. 효용이 같다고 해서 지출해야 하는 금액까지 동일한 것은 아니기 때문이다. 이때, 지출이 최소가 되는 그 점은 무차별곡선상의 점들 중에서 원점으로부터 가장 조금 떨어진 예산선상에 있다는 것이 포인트이다. 따라서 지출극소화 문제는 다음과 같이 해결하면 된다.

효용극대화 문제에서 설명한 것과 마찬가지로 생각하면 문제는 금방 풀린다. 무차별곡선이 원점에 대하여 볼록하다는 전제하에서, 둘째 조건을 만족시키려면 무차별곡선과 예산선이 접해야 한다. 곧, 수리적으로 다음이 성립해야 한다.


곧, 효용극대화 문제와 지출극소화 문제 모두 무차별곡선과 예산선이 접해야 한다는 조건은 동일하다. 그러나 효용극대화 문제는 주어진 예산선상의 점들 중에서 원점에서 가장 멀리 떨어진 무차별곡선상의 점을 찾는 반면, 지출극소화 문제는 주어진 무차별곡선상의 점들 중에서 원점에서 가장 조금 떨어진 예산선상의 점을 찾는다는 것이 결정적인 차이점이다. 곧, 효용극대화 문제에서는 주어진 예산선상에서 찾아야 하므로 $p_1x_1+p_2x_2=m$이 성립해야 하지만, 지출극소화 문제는 주어진 무차별곡선상에서 찾아야 하므로 $U(x_1,\,x_2)=u$가 성립해야 한다.