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xx좌표 · yy좌표 · xx축 · yy좌표 · xx절편 · yy절편
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. 개요2. 도입3. 성질4. 미정계수법5. 예시
5.1. 삼각함수5.2. 지수5.3. 로그5.4. 미적분5.5. 벡터5.6. 곱셈 공식5.7. 인수분해5.8. 기타
6. 관련 문서
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. 개요[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
identity · 恒等式

미지수를 포함한 등식에서 미지수의 값에 관계 없이 항상 성립하는 등식.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. 도입[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
이차식 x2−3x+4x^2-3x+4를 x−1x-1로 나눈 몫은 x−2x-2이고, 그 나머지는 2이다. 이것을 등식으로 다음과 같이 표현할 수 있다.
x2−3x+4=(x−1)(x−2)+2\displaystyle x^2-3x+4=(x-1)(x-2)+2
이 등식은 미지수 xx값에 관계 없이 성립하므로 항등식이다.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. 성질[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
다음의 등식을 고려해보자.
∑j=0najxj=0\displaystyle \sum_{j=0}^{n}a_{j}x^{j}=0
이 등식이 xx값에 관계 없이 성립하려면, 다음을 만족해야 한다.
aj=0(0≤j≤n)\displaystyle a_{j}=0\quad (0 \leq j \leq n)

다음의 등식에선
∑j=0najxj=∑j=0nbjxj\displaystyle \sum_{j=0}^{n}a_{j}x^{j}=\sum_{j=0}^{n}b_{j}x^{j}
항등식이 되려면, 다음을 만족해야 한다.
aj=bj(0≤j≤n)\displaystyle a_{j}=b_{j}\quad (0 \leq j \leq n)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. 미정계수법[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
항등식의 성질이나 정의를 써서 다항식의 미지의 계수를 정하는 방법을 말한다. 두 가지 종류가 있다.
  • 계수비교법
    항등식의 양변의 동류항의 계수는 같음을 이용해서 계수를 결정.
  • 수치대입법
    항등식은 미지수에 무엇을 대입하더라도 성립하므로 이것을 이용하여 계수를 결정.

예를 들어 등식
ax2−bx+2=x+2\displaystyle ax^2-bx+2=x+2
이 항등식이 되는 상수 aa, bb를 구한다고 해보자.

계수 비교법으로는 각 동류항의 계수는 동일해야 하므로
a=0b=−1\displaystyle \begin{aligned} a&=0 \\ b&=-1 \end{aligned}
을 얻는다.

수치 비교법으로는 우선 x=1x=1을 대입해
a−b=1\displaystyle a-b=1
를 얻고, x=−1x=-1을 대입해
a+b=−1\displaystyle a+b=-1
을 얻는다. 이것을 연립하면,
a=0b=−1\displaystyle \begin{aligned} a&=0 \\ b&=-1 \end{aligned}
을 얻는다.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5. 예시[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ee는 자연로그의 밑, ii는 허수 단위이다.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5.1. 삼각함수[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  1. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}
  2. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta = 1
  3. 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1+\tan^2\theta = \sec^2\theta
  4. 1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1+\cot^2\theta = \csc^2\theta
  5. cos⁡x+isin⁡x=eix\cos x+i\sin x = e^{ix} (오일러 공식)
  6. sin⁡θ=−isinh⁡iθ\sin\theta = -i\sinh i\theta
  7. cos⁡θ=cosh⁡iθ\cos\theta = \cosh i\theta
  8. sin⁡x=eix−e−ix2i\sin x = \dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}
  9. cos⁡x=eix+e−ix2\cos x = \dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}
  10. tan⁡x=sin⁡xcos⁡x=−i eix−e−ixeix+e−ix\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = -i\,\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5.2. 지수[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  1. xa+b=xaxbx^{a+b} = x^ax^b
  2. xa−b=xaxbx^{a-b} = \dfrac{x^a}{x^b} (단, xb≠0x^b\neq0)
  3. (xa)b=xab(x^a)^b = x^{ab}
  4. (xy)n=xnyn(xy)^n = x^ny^n
  5. ex=sinh⁡x+cosh⁡xe^x = \sinh x+\cosh x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5.3. 로그[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  1. log⁡ab=log⁡a+log⁡b\log{ab} = \log a+\log b
  2. log⁡ab=log⁡a−log⁡b\log{\dfrac ab}=\log a-\log b
  3. log⁡an=nlog⁡a\log{a^n} = n\log a
  4. log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_ab = \dfrac{\log_cb}{\log_ca} (밑 변환 공식)
  5. log⁡ab=1log⁡ba\log_ab = \dfrac1{\log_ba}
  6. log⁡ix=2iπlog⁡ex\log_ix = \dfrac2{i\pi} \log_ex
  7. li⁡(x)=(Ei⁡∘log⁡e)(x)\operatorname{li}(x) = (\operatorname{Ei} \circ \log_e)(x)[1]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5.4. 미적분[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  1. ddx c=0\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \,c = 0 (cc는 상수)
  2. ddx xn=nxn−1↔∫xn=1n+1 xn+1+c\displaystyle \dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \,x^n = nx^{n-1} \quad \leftrightarrow \quad \int x^n = \frac1{n+1} \,x^{n+1} +c (cc는 상수)
  3. ddx ex=ex\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \,e^x = e^x
  4. ddxln⁡x=1x\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \ln x = \dfrac1x
  5. ∫abf′(x) dx=f(b)−f(a)\displaystyle \int_a^b f'(x) \,{\rm d}x = f(b) -f(a)
    (단, 함수 f′(x)f'(x)가 닫힌 구간 [a,b][a, b]에서 연속이어야 한다. 미적분의 기본정리 참고.)
  6. ∫1e1x dx=ln⁡e−ln⁡1=1\displaystyle \int_1^e \frac1x \,{\rm d}x = \ln e -\ln1 = 1
  7. ddxsin⁡x=cos⁡x\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \sin x = \cos x
  8. ddxcos⁡x=−sin⁡x\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \cos x = -\sin x
  9. ddxtan⁡x=sec⁡2x\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \tan x = \sec^2x
  10. ddxcot⁡x=−csc⁡2x\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \cot x = -\csc^2x
  11. ddxsec⁡x=sec⁡xtan⁡x\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \sec x = \sec x\tan x
  12. ddxcsc⁡x=−csc⁡xcot⁡x\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \csc x = -\csc x\cot x
  13. ddxsinh⁡x=cosh⁡x\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \sinh x = \cosh x
  14. ddxcosh⁡x=sinh⁡x\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \cosh x = \sinh x
  15. ddxtanh⁡x=sech⁡2x\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \tanh x = \operatorname{sech}^2x
  16. ddxcoth⁡x=−csch⁡2x\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \coth x = -\operatorname{csch}^2x
  17. ddxsech⁡x=−sech⁡xtanh⁡x\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \operatorname{sech}x = -\operatorname{sech}x\tanh x
  18. ddxcsch⁡x=−csch⁡xcoth⁡x\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \operatorname{csch}x = -\operatorname{csch}x\coth x
  19. ddx∣x∣=sgn⁡(x)↔∫sgn⁡(x)=∣x∣+c\displaystyle \dfrac{\rm d}{{\rm d}x} |x| = \operatorname{sgn}(x) \quad \leftrightarrow \quad \int \operatorname{sgn}(x) = |x| +c (cc는 상수이고 sgn⁡(x)\operatorname{sgn}(x)는 부호 함수이다.)
  20. ddxsgn⁡(x)=2δ(x)↔∫2δ(x)=2θ(x)+c=sgn⁡(x)+1+c\displaystyle \dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \operatorname{sgn}(x) = 2\delta(x) \quad \leftrightarrow \quad \int 2\delta(x) = 2\theta(x) +c = \operatorname{sgn}(x) +1+c (cc는 상수, δ(x)\delta(x)는 디랙 델타 함수, θ(x)\theta(x)는 헤비사이드 계단 함수이다.)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5.5. 벡터[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  1. (a×b)×c=−(c⋅b)a+(c⋅a)b({\bf a} \times {\bf b}) \times {\bf c} = -({\bf c} \boldsymbol{\cdot} {\bf b}){\bf a} +({\bf c} \boldsymbol{\cdot} {\bf a}){\bf b}
  2. a×(b×c)=b(a⋅c)−c(a⋅b){\bf a} \times ({\bf b} \times {\bf c}) = {\bf b}({\bf a} \boldsymbol{\cdot} {\bf c}) -{\bf c}({\bf a} \boldsymbol{\cdot} {\bf b})
  3. a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0{\bf a} \times ({\bf b} \times {\bf c}) +{\bf b} \times ({\bf c} \times {\bf a}) +{\bf c} \times ({\bf a} \times {\bf b}) = {\bf 0}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5.6. 곱셈 공식[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
상세 내용 아이콘   자세한 내용은 곱셈 공식 문서의 2번 문단을 참고하십시오.
  1. (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
  2. (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
  3. (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2
  4. (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab
  5. (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5.7. 인수분해[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
상세 내용 아이콘   자세한 내용은 인수분해 문서의 3.1번 문단을 참고하십시오.
  1. a2+2ab+b2=(a+b)2a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
  2. a2−2ab+b2=(a−b)2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
  3. a2−b2=(a+b)(a−b)a^2-b^2=(a+b)(a-b)
  4. x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
  5. acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5.8. 기타[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  1. nPr=Γ(n+1)Γ(n−r+1)=(n−r+1)Γ(n+1)Γ(n−r+2)=(n−r+1)⋅nPr−1{}_n{\rm P}_r = \dfrac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-r+1)} = (n-r+1) \dfrac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-r+2)} = (n-r+1) \cdot {}_n{\rm P}_{r-1}
    (단, 감마 함수에 들어가는 인수의 실수부가 0 이하의 정수이면 안 된다.)
  2. ℑ(a)=0(a∈R)\Im(a) = 0 \quad (a\in\R)[2]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

6. 관련 문서[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[1] li⁡(x)\operatorname{li}(x)는 로그 적분 함수, Ei⁡(x)\operatorname{Ei}(x)는 지수 적분 함수이다.[2] 실수의 허수부는 무조건 0이라는 의미이다.[3] 의외라고 생각할 수 있는데, 엄연한 항등식이다. 애초에 곱셈 공식은 복잡한 곱셈의 결과를 쉽게 찾게 해주는 것, 인수분해는 식을 곱셈의 꼴로 나타내는 것이 목적이다.
 
 
 
 
 
 
 
 

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