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가비의 이

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1. 개요2. 증명3. 심화
3.1. 증명
4. 활용
4.1. 피타고라스 정리4.2. 샤가프의 법칙
5. 예제6. 명칭 논쟁7. 기타
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. 개요[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
가비의 이(加比- 理; componendo and dividendo theorem) 또는 가비의 리는 아래와 같이, 두 비가 같을 때, 분자와 분모를 따로 더하여 얻은 비도 처음의 두 비와 같다는 법칙으로, 다음의 항등식으로 나타낼 수 있다. 물론 분모가 0이 아니라는 전제는 필요하다.
ab=cd=a+cb+d\dfrac ab = \dfrac cd = \dfrac{a+c}{b+d}
(단, b≠0b\ne0, d≠0d\ne0, b+d≠0b+d\ne0)
이것이 성립하는 이상 셋 이상의 비에서도 가비의 이는 얼마든지 성립하며, 이를 일반화하면 다음과 같다.
b1a1=b2a2=⋯=bnan=tr⁡(I⊗b)tr⁡(I⊗a)=∑k=1nbk∑k=1nak\dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \cdots =\dfrac{b_n}{a_n} = \dfrac{\operatorname{tr}(I\otimes{\bf b})}{\operatorname{tr}(I\otimes{\bf a})} = \dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k}{\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k}
(\biggl(단, ak≠0a_k\ne 0, bk≠0b_k\ne0, tr⁡(I⊗a)≠0\operatorname{tr}(I\otimes{\bf a})\ne 0, ∑k=1nak≠0)\sum\limits_{k=1}^n a_k\ne0\biggr)
tr\rm tr은 주대각합, ⊗\otimes는 텐서곱, II는 단위행렬이다. a\bf a, b\bf b는 각각 a1⋯ana_1\cdots a_n, b1⋯bnb_1\cdots b_n을 벡터로 표현한 것이다.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. 증명[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
두 비에 대한 경우는 대수적으로 간단히 증명할 수 있다. c=akc=ak, d=bkd=bk (단, k≠−1k\ne-1)라 놓으면
a+cb+d=a+akb+bk=a(k+1)b(k+1)=ab\dfrac{a+c}{b+d} = \dfrac{a+ak}{b+bk} = \dfrac{a(k+1)}{b(k+1)} = \dfrac ab
이는 비가 2개 뿐만 아니라 3, 4개 있다고 해도 동일하게 적용된다. 일반화된 관계식의 경우
b1a1=b2a2=⋯=bnan=K\dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \cdots = \dfrac{b_n}{a_n} = K
라 하면, bk=Kakb_k = Ka_k이므로
∑k=1nbk∑k=1nak=K∑k=1nak∑k=1nak=K\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n b_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k} = \dfrac{\displaystyle K\cancel{\sum_{k=1}^n a_k}}{\displaystyle\cancel{\sum_{k=1}^n a_k}} = K
한편 수열의 합 ∑k=1nak\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k는 선형 변환을 통해
∑k=1nak=tr⁡[a10⋯00a2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯an]=tr⁡(I⊗a)\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k = \operatorname{tr}\begin{bmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} = \operatorname{tr}(I\otimes{\bf a})
로 변형할 수 있으므로, 아래의 식과도 동치가 된다.
b1a1=b2a2=⋯=bnan=tr⁡(I⊗b)tr⁡(I⊗a)\dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \cdots = \dfrac{b_n}{a_n} = \dfrac{\operatorname{tr}(I\otimes{\bf b})}{\operatorname{tr}(I\otimes{\bf a})}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. 심화[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
나아가, 더욱 일반적인 차원에서 다음도 가비의 이라고 한다.
ab=cd=xa+ycxb+yd\dfrac ab = \dfrac cd = \dfrac{xa+yc}{xb+yd}
(단, b≠0b\ne0, d≠0d\ne0, xb+yd≠0xb+yd\ne0)
새로운 변수를 얼마든지 추가해도 가비의 이는 성립하는데, 이를 일반화하면 다음과 같다.
b1a1=b2a2=⋯=bnan=tr⁡(x‾⊗b)tr⁡(x‾⊗a)=∑k=1nxkbk∑k=1nxkak\dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \cdots = \dfrac{b_n}{a_n}= \dfrac{\operatorname{tr}(\overline{\bf x}\otimes{\bf b})}{\operatorname{tr}(\overline{\bf x}\otimes{\bf a})} = \dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_kb_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_ka_k}
(\biggl(단, ak≠0a_k\ne0, bk≠0b_k\ne0, tr⁡(x‾⊗a)≠0\operatorname{tr}(\overline{\bf x}\otimes{\bf a})\ne0, ∑k=1nxkak≠0)\sum\limits_{k=1}^n x_ka_k \ne 0\biggr)
x‾\overline{\bf x}는 x\bf x의 켤레이다.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.1. 증명[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b1a1=b2a2=⋯=bnan=K\dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \cdots = \dfrac{b_n}{a_n} = K
라 하면, bk=Kakb_k = Ka_k이므로
∑k=1nxkbk∑k=1nxkak=K∑k=1nxkak∑k=1nxkak=K\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_kb_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_ka_k} = \dfrac{\displaystyle K\cancel{\sum_{k=1}^n x_ka_k}}{\displaystyle\cancel{\sum_{k=1}^n x_ka_k}} = K
위 문단과 마찬가지로 수열의 합 ∑k=1nxkak\displaystyle\sum_{k=1}^n x_ka_k는 선형 변환을 통해
∑k=1nxkak=tr⁡[x1a1x2a1⋯xna1x1a2x2a2⋯xna2⋮⋮⋱⋮x1anx2an⋯xnan]=tr⁡(x‾⊗a)\begin{aligned} \sum_{k=1}^n x_k a_k &= \operatorname{tr} \begin{bmatrix} x_1 a_1 & x_2 a_1 & \cdots & x_n a_1 \\ x_1 a_2 & x_2 a_2 & \cdots & x_n a_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1 a_n & x_2 a_n & \cdots & x_n a_n \end{bmatrix} \\ &= \operatorname{tr}(\overline{\bf x}\otimes{\bf a})\end{aligned}
로 변형할 수 있으므로[1], 아래의 식과 동치가 된다.
b1a1=b2a2=⋯=bnan=tr⁡(x‾⊗b)tr⁡(x‾⊗a)\dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \cdots = \dfrac{b_n}{a_n} = \dfrac{\operatorname{tr}(\overline{\bf x}\otimes{\bf b})}{\operatorname{tr}(\overline{\bf x}\otimes{\bf a})}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. 활용[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
수학 정리를 증명할 때 가비의 이를 활용할 수 있다.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4.1. 피타고라스 정리[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
나무 가비의리 피타고라스
각 C\rm C를 직각으로 하는 삼각형 ABC\rm ABC가 있다. 점 C\rm C에서 빗변 AB\rm AB에 내린 수선의 발을 H\rm H라고 하면 직각삼각형 ABC\rm ABC, ACH\rm ACH, CBH\rm CBH는 각각 닮음이고, 닮은 직각삼각형의 넓이는 닮음비에 따라 빗변의 제곱에 비례하므로
AB‾2△ABC=AC‾2△ACH=BC‾2△CBH\dfrac{\overline{\rm AB}^2}{\triangle\rm ABC} = \dfrac{\overline{\rm AC}^2}{\triangle\rm ACH} = \dfrac{\overline{\rm BC}^2}{\triangle\rm CBH}
가비의 이를 적용하면
AB‾2△ABC=AC‾2+BC‾2△ACH+△CBH=AC‾2+BC‾2△ABC∴AB‾2=AC‾2+BC‾2\begin{aligned}\frac{\overline{\rm AB}^2}{\triangle\rm ABC} &= \frac{\rm\overline{AC}^2 + \overline{BC}^2}{\rm\triangle ACH + \triangle CBH} \\ &= \frac{\rm\overline{AC}^2 + \overline{BC}^2}{\rm\triangle ABC}\\ \therefore\rm\overline{AB}^2 &= \rm\overline{AC}^2 + \rm\overline{BC}^2\end{aligned}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4.2. 샤가프의 법칙[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
생명과학의 샤가프의 법칙에서도 응용되어 쓰일 수 있다. 상보적인 DNA 이중 가닥에서, A의 개수 = T의 개수, C의 개수= G의 개수이므로[2] A/T = C/G = 1이므로 (A+C)/(T+G) = (퓨린 계열 염기)/(피리미딘 계열 염기) = 1 이 성립한다.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5. 예제[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[문제]
세 상수 aa, bb, cc에 대하여

a3a−b−c=b3b−c−a=c3c−a−b=k\dfrac a{3a-b-c} = \dfrac b{3b-c-a} = \dfrac c{3c-a-b} = k

를 만족시키는 kk의 값을 구하시오. (단, (3a−b−c)(3b−c−a)(3c−a−b)≠0(3a-b-c)(3b-c-a)(3c-a-b)\ne0)

[풀이 보기]

[1] a+b+c≠0\bm{a+b+c\ne0}
가비의 이에 의하여
a3a−b−c=b3b−c−a=c3c−a−b=a+b+c(3a−b−c)+(3b−c−a)+(3c−a−b)=a+b+ca+b+c=1\begin{aligned} \frac a{3a-b-c} &= \frac b{3b-c-a} = \frac c{3c-a-b} \\ &= \frac{a+b+c}{(3a-b-c)+(3b-c-a)+(3c-a-b)} \\ &= \frac{a+b+c}{a+b+c}= 1 \end{aligned}


[2] a+b+c=0\bm{a+b+c=0}
가비의 이를 사용하지 못하므로 a+b+c=0a+b+c=0 자체를 단서로 활용한다.
a3a−b−c=a3a+a=14b3b−c−a=b3b+b=14c3c−a−b=c3c+c=14∴a3a−b−c=b3b−c−a=c3c−a−b=14\begin{aligned} \frac a{3a-b-c} &= \frac a{3a+a} = \frac14 \\ \frac b{3b-c-a} &= \frac b{3b+b} = \frac14 \\ \frac c{3c-a-b} &= \frac c{3c+c} = \frac14 \end{aligned} \\ \therefore\dfrac a{3a-b-c} = \dfrac b{3b-c-a} = \dfrac c{3c-a-b} = \dfrac14

가비의 이는 분모가 0\bm0이 되지 않는 한에서 성립함을 상기해야 두 가지 경우에 대한 kk의 값을 완벽히 찾아낼 수 있다.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

6. 명칭 논쟁[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  • 한국어: 가비의 이(리), 합비의 이(리), 가비 원리
  • 일본어: 加(か)比(ひ)の理(り), 合(ごう)比(ひ)の理(り)
  • 중국어: 合比定理(hé bǐ dìng lǐ)

'가비의 이'는 일본에서 加比の理로 칭하는 것을 한자는 한국 한자음으로, の를 '-의'로 옮기기만 한 매우 어색한 표현이다. 비(比)의 덧셈(加)에 대한 정리(理)라는 뜻으로, 일본식 용어를 한국에서 그대로 받아들인 수많은 예 중 하나. 사실 '가비의 리'로 더 널리 알려져 있으나, 두음 법칙을 생각하면 '가비의 이'가 한글 맞춤법에 부합하며[3] 표준국어대사전에도 '가비의 이'만이 표준어로 등재되어 있다. 여기서 '이'는 '정리'(定理)를 의미하는 일반 명사이며 한글맞춤법 3장 5절 11항에도 한자음 '리'가 단어 첫머리에 올 때에는 두음 법칙에 따라 '이'로 적되 의존 명사일 때에만 본음대로 적는다고 명시되어 있기 때문에 '리'라고 쓰는 건 명백히 틀린 표현이다. '서울에서 인천까지 몇 리냐?', '그럴 리가 없다'의 '리'는 모두 의존 명사이기 때문에 본 사례와는 무관하다.

용어의 의미 투명성이 낮아 오해가 생기는 일도 더러 있는데, '이'부터 전혀 다른 의미의 수학 용어가 있고[4] 가비도 사람 이름[5] 같아서 "가비라는 사람이 만든 술어 부정 정리인갑다" 하고 잘못 받아들일 수 있다.

'-의'가 관형격(소유격) 조사에 대응하는 の일 뿐이므로 생략하는 방안도 고려해볼 수 있다. 실제 피타고라스 정리, 질량 보존 법칙 등 과거에 쓰였던 '의'가 불필요한 일본식 어투라는 이유로 교육과정 개정을 거쳐 삭제된 적이 있다. 이 논리에 따르면 '가비리'가 되지만, 가리비라는 유사한 발음이 있어 혼동될 여지가 있다. 여담으로 이처럼 '가비의 리'를 잘못 듣고 '가리의 비'로 착각하는 경우도 많다. "정리"라는 뜻의 "리(理)"보다 수학 용어 "비(比)"에 익숙하고, 이것이 '가리(칼륨)[6]의 비율'이라는 뜻으로 오해하기도 쉽다.

자주 사용하는 용어로 바꾸어 이르자면 '비의 합 정리', '유리식의 덧셈 정리' 같은 이름이 될 것이다. 합비(合比)의 이(리)라고도 하지만 잘 쓰이지 않으며, 중국어의 '합비 정리(合比 定理)'도 괜찮은 대안이 될 수 있다.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

7. 기타[편집]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  • 대한민국에서 가비의 이는 원래 고1 때 배웠으나 교육과정에서 삭제되었다.[7]
  • 09 수능 수리 나형에서 로그와 연계해서 출제되었다. 정답률은 21%에 불과했다. 이게 모의고사나 내신에서도 거의 안 다룬 내용이라 아는 사람이 없어서. 이 문제 빼고는 가비의 이를 활용하는 문제는 전혀 없으므로 안심해도 좋다.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[1] x\bf x에 켤레를 취하는 이유는 텐서곱이 반쌍형 연산이기 때문이다.[2] 물론 실제 생명체의 염기서열에서는 완벽하게 맞아떨어지지 않지만, 문제에서는 이상(ideal)적인 상황을 가정한다.[3] 理(다스릴 리)의 본음이 '리'이지만 어두에 왔으니 '이'로 발음하는 것이 표준이다.[4] 한자 표현이 裏로 다르기는 하나 본음이 '리'이면서 두음 법칙이 적용되었다는 점은 똑같다.[5] 실제로 스페인어권에서 가브리엘, 가브리엘라의 애칭으로 '가비'(gabi(e))가 쓰인다. 대표적인 예로 국가비가 있다.[6] 사이안화 칼륨보다 청산가리라는 명칭이 익숙할 것이다.[7] 다만 삭제되긴 했으나 대한민국의 수학 교육과정의 분량 자체가 너무 줄기도 했고 내신 수학이라는 특수성을 감안할 때, 2015 개정교육과정의 학생들은 여전히 배우고 있는 상황이다. 이러한 상황 때문에 쎈과 같은 문제집에서는 여전히 찾아볼 수 있다.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

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