다항식

• 항

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  수 또는 문자의 곱으로만 이루어진 식. 위 예에선 $a_{j}x^{j}$이 그 예이다.
• 상수항

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  문자 없이 수로만 이루어진 항. 위 예에선 $a_{0}$가 해당한다.
• 계수

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  수와 문자의 곱으로 이루어진 항에서 문자에 곱해진 수. 예를 들어 $a_{j}x^{j}$이라는 항에서는 그 계수가 $a_{j}$가 된다.
• 차수

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  어떤 항에서 문자가 곱해진 횟수. 예를 들어 $a_{j}x^{j}$이라는 항에서는 그 차수가 $j$이다.
• 다항식의 차수

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  다항식에서 차수가 가장 큰 항의 차수. 위의 예에선 $a_{n}x^{n}$이라는 항이 그 차수가 가장 크고, 따라서 $P(x)$의 차수는 $n$이다. 또, 이러한 다항식을 $\boldsymbol n$차 다항식 또는 $\boldsymbol n$차식이라 한다.

• 동류항

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  다항식에서 문자와 차수가 각각 같은 항

• $x^3$, $3x^2y$, $-2xy$, $-x^2y$, $5xy$, $-x$, 6은 항이다.
• 항 $x^3$의 경우 문자 $x$가 곱해진 횟수가 3번이므로 그 차수가 3이다.
• 항 $-2xy$에서 $x$에 대한 계수는 $-2y$이다.
• 두 항 $-2xy$, $5xy$는 동류항이다.
• 항 6은 상수항이다.
• $x$를 상수 취급하고, $y$를 변수로만 본다면, $x^3$, $-x$, 6도 상수항이다.
• 항 $-2x y$에 대한 $(x,\,y)$에 대한 차수는 $(1,\,1)$이나 이때는 각각의 차수의 총합을 총차수로 나타내기도 하며, 그 값은 2이다.

어떤 수 $x$의 $a$배에서 $b$를 더한 것과 원래 그 어떤 수의 곱이 $c$라고 한다

• 다항식의 몫, 즉 $P(x)/Q(x)$ 꼴을 유리식이라고 한다. 계수가 $F$ 위에 있는 유리식의 집합은 $F(x)$로 쓴다.
• 다항식으로 나타낼 수 있는 함수를 다항함수라고 한다.
• 유리식으로 나타낼 수 있는 함수를 유리함수라고 하고, 그렇지 않은 함수를 무리함수라고 한다.
• 다항함수를 포함한 다항방정식의 근으로 나타낼 수 있는 함수를 대수함수라고 한다. 교과과정에서 배우는 제곱근 등의 무리함수들은 모두 이 대수함수의 일종이다. 대수함수가 아닌 함수를 초월함수라고 한다. 초월함수의 대표적 예로 소수의 개수를 세는 함수인 소수 계량 함수가 있는데, 이 함수를 정의하는 데 쓰이는 소수를 다항방정식으로 표현할 수 없다.

1. 단항식과 수의 곱셈

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   $\begin{aligned}\displaystyle 8x \times 2 &= (8 \times x) \times 2 \\ &= ( x \times 2) \times 8 \\ &= x \times (8 \times 2) \\ &=(8\times 2) \times x=16x \end{aligned}$

2. 다항식과 수의 곱셈

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   $\begin{aligned}\displaystyle -3(x-7)&=(-3 \times x) -(-3 \times 7) \\&=-3x+21 \end{aligned}$

3. 동류항의 덧셈

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   $\begin{aligned}\displaystyle 3x-7x&=(3-7)x \\&=-4x \end{aligned}$

4. 다항식의 덧셈

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   $\begin{aligned}\displaystyle (3x+4)-(5x-6)&=(3x-5x)+(4-6) \\&=-2x-2 \end{aligned}$

1. 괄호가 있으면, 분배 법칙을 이용하여 괄호를 푼다.
2. 동류항끼리 모아서 계산한다.

1. 단항식의 곱셈 (1)

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   $\begin{aligned}\displaystyle 3x \times 6x^2 &=(3\times 6) \times (x \times x^2) \\&=18x^3 \end{aligned}$

2. 단항식의 곱셈 (2)

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   $\begin{aligned}\displaystyle 2x \times 3y^2 &= (2 \times 3) \times(x \times y^2) \\ &=6xy^2 \end{aligned}$

3. 다항식의 곱셈

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   $\begin{aligned}\displaystyle (x+3)(x-4) &=x^2-4x+3x-12 \\ &= x^2+(-4+3)x-12 \\ &=x^2-x-12 \end{aligned}$

• 일차방정식
• 이차방정식
• 삼차방정식
• 사차방정식

• 중등 수학과정상에서는 중학교 1학년 때 일차식을 시작으로 이 다항식에 입문하게 된다.
• 러시아에서는 섹드립의 일종으로 쓰이기도 한다. 러시아어로 다항식은 므노고칠렌(многочлен)이라 하는데, 이게 많은(много)+성기(член)로 해석될 수 있기 때문이다.[1]

• 다항함수
• 항등식
• 방정식
• 부등식
• 곱셈 공식
• 인수분해

[1] 칠렌(член)은 여러 뜻이 있다. 가령 수학에서는 항을 의미한다. 그러나 구어체에서는 남성기를 가리킬 때도 사용된다. 특히 러시아에서 야망가를 번역할 때 친친은 십중팔구 칠렌으로 번역된다.

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단항식

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