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프랙탈 이론

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1. 개요2. 역사 및 의의3. 차원4. 프랙탈 도형의 종류5. 관련 영상
5.1. 2D 프랙탈5.2. 3D 프랙탈5.3. 4D 프랙탈

1. 개요[편집]

프랙탈수학, 기하학 연구 분야 중 하나로서, 자기유사성을 갖는 기하학적 구조를 뜻한다. 자기 닮음 도형이라고도 표현한다. 쉽게 말하면 어떤 도형의 작은 일부를 확대해 봤을 때 그 도형의 전체 모습이 똑같이 반복되는 도형에 관한 연구이다.

2. 역사 및 의의[편집]

프랙탈(Fractal)이라는 용어는 1975년 브누아 망델브로(Benoit Mandelbrot)의 The Fractal Geometry of Nature에서 처음으로 이 단어를 사용하면서 명명되었다. 다만 프랙탈의 개념 자체는 이전부터 인지되고 있었다. 예를 들면 카를 바이어슈트라스가 제시한 전구간 미분불능함수는 프랙탈의 성질을 보이고 있다. 어원은 '부서진'이라는 뜻의 라틴어 fractus에서 유래했다. 어원 정보

프랙탈 이론은 1975년 망델브로 집합을 연구하면서 시작되었으며, 그 이후로 많은 사례들이 발견되었다. 그 후 자연계가 통계적인 프랙탈[1] 모양을 하고 있다는 사실이 밝혀지면서 카오스 이론과 접목시켜서 자연을 모델링 하는데에 굉장히 유용하게 사용된다. 특히 망델브로 집합의 경계면에서는 극도로 미세하게 값이 달라져도 발산하거나 수렴하게 되는데 초기 조건에 극히 민감한 결과를 갖는 시스템이라는 성격에 잘 부합된다. 학교 수학 과제 주제로도 유용하다

고사리의 잎 윤곽이나 나무가 가지를 뻗는 양상, 리아스식 해안선의 모양 등 많은 것들이 자기유사성을 가지고 있다. 심지어 주식의 변동곡선도 하루 동안의 변화, 한 주 사이의 변화, 한 달, 1년 사이의 변화가 비슷한 형태로 나타나는 자기유사성을 띠고 있으며 프랙탈 공간은 정수 차원이 아닌 소수 차원을 갖는다. 이 밖에도 이스탄불(콘스탄티노플)을 지도에서 찾을 때 비슷한 현상을 겪을 수 있는데, 이스탄불의 생김새와 보스포루스 해협을 접한 발칸 반도 쪽 지형이 비슷하기 때문에 겪는 현상이다. 이 때문에 이스탄불 또는 콘스탄티노플이라고 생각하고 무언가를 만들었는데 알고 보니 훨씬 더 확대해야 그곳이 나와서 뒤늦게 잘못 만들었음을 겪는 일을 종종 겪기도 한다. 심지어 이스탄불 맞은편의 땅은 공교롭게도 아나톨리아 반도 서쪽 해안과 닮았다. 이스탄불 동쪽 맞은편이 일단 아나톨리아 반도의 일부이기는 한지라 이 역시 자연스럽게 착각을 일으키기 쉽다.

이러한 프랙탈의 자기복제적인 특징들은 아주 간단한 법칙도 되먹임하면 복잡한 양상을 이끌어낼 수 있음을 보여주고 있다. 이것은 전술한 대로 혼돈 이론을 묘사하는 도구 중 하나일 뿐 아니라, 진화론상의 빈틈을 메꿔줄 도구로 사용될 수도 있다. 즉, 생물이 나타내는 복잡한 구조가 반드시 기적적인 우연을 필요로 하는 것은 아닐 수 있다는 주장이다.

파일:attachment/프랙탈~1.gif
<프랙탈 항구>

컴퓨터상으로 몇 가지 간단한 재귀함수를 통해 구현할 수 있다. 예를 들면 이런 것.

파일:external/upload.wikimedia.org/Animated_fractal_mountain.gif
<프랙탈 이론을 응용하여 산의 모습을 만드는 과정>

어디서 많이 보던 형상이 아닌가하고 생각할텐데, 바로 3D 모델링 방법 중 그 유명한 테셀레이션이다. 기술발전이 미미하던 과거에는 프리렌더링용 기법이었지만 다이렉트X11 이후 리얼타임으로도 구현이 되어 간단한 도형가지고도 복잡한 모델을 구현할 수 있게 되었다.

프랙탈 도형의 면적을 구하는 문제가 매년 대학수학능력시험에 출제되고 있으며, 이 경우 무한등비급수의 성질을 이용해 계산하는 문제로 나온다.

마이클 크라이튼원작 소설 쥬라기 공원에도 소개되는데 등장 인물중 이안 말콤박사가 프랙탈 이론을 언급하는 장면이 나온다.

3. 차원[편집]

프랙탈 이론에서는 차원이라는 단어를 약간 다른 의미로 쓴다. 프랙탈 이론에서 말하는 차원은 자기복제를 하는데 필요한 도형의 숫자로 정의된다.

어느 도형의 길이를 xx배 크게 만들었을 때 그 도형의 면적(혹은 부피)이 nn배 증가한다고 가정하면, logxnlog_x n 이 그 도형의 차원인 것이다.[2] 예를 들면, 정사각형을 모아서 길이가 두 배인 정사각형을 만들면 정사각형의 면적이 4배로 증가한다. 고로 정사각형의 차원을 수식으로 구하려면 4 = 2의 d제곱 -> 따라서 2차원이라고 할 수 있다.

몇 가지 예를 더 들면

  • 정사각형의 길이를 3배로 만들면 면적은 9배가 되기 때문에 9 = 3의 d제곱 -> 역시 2차원

  • 정육면체의 한 변의 길이를 2배 크게 만들면 부피는 8배가 되기 때문에 8 = 2의 d제곱 -> d=3이므로 3차원

  • 직선을 5배 크게(=길게) 만들면 길이는 5배가 되기 때문에 5 = 5의 d제곱 -> 1차원


파일:external/upload.wikimedia.org/699px-SierpinskiTriangle.svg.png
이 정의로는 정수가 아닌 소숫점 차원이 존재할 수 있으며, 위 그림이 그 예이다. 이 도형은 정삼각형을 정삼각형 4개로 나누고, 중간 부분을 제거한 후 또 새로 생긴 작은 정삼각형을 나누고 중간 부분을 제거하는 것을 무한히 반복한 도형으로 '시에르핀스키의 삼각형(시어핀스키 삼각형)' 이라 한다. 카오스 게임(chaos game)으로도 만들 수 있다.

파일:external/upload.wikimedia.org/Sierpinski1.png
이 도형의 길이를 2배로 만들면 위와 같이 3개의 기존 도형으로 이루어진다.(빨간색, 노란색, 파란색의 3개.) 따라서 이 도형의 차원은 log23 = log3 / log2 = 대략 1.585차원 이 된다.

또한 이 시에르핀스키의 삼각형은 어느 부분을 무한히 확대하더라도 처음 모습과 같은 도형이 등장하며, 외곽선의 길이는 무한하지만 면적은 0이기 때문에[3] 기존의 기하학 이론으로는 설명하기 힘든 특성이 있다. 이러한 것을 설명하기 위해 등장한 것이 바로 이 프랙탈 이론이다.

4. 프랙탈 도형의 종류[편집]

5. 관련 영상[편집]

5.1. 2D 프랙탈[편집]

프랙탈 도형은 특정한 과정을 무한히 반복해서 만들어지는 도형이고, 넓이는 유한하지만 표면적(2차원에서는 둘레)이 무한하기 때문에 특정 부분을 확대하면 특정 패턴이 무한히 반복된다.

아래는 인터넷에 한때 유행했던 프랙탈 도형 확대 영상.



망델브로 집합.


줄리아 집합. 보는 사람에 따라서 어지러울 수도 있다.

5.2. 3D 프랙탈[편집]

이하는 3D 애니메이션으로 구현한 프랙탈 도형들. 잘 만들어진 영상은 그 특유의 장엄함으로 인해 인기를 끌기도 한다.

개인에 따라 조금 징그럽단 느낌이 들 수 있으니 주의.


동영상 제목은 '꿈만같은'. 이미 꿈의 스케일을 벗어난 듯한 동영상이지만.


시에르핀스키 삼각형. ...삼각형? 음악이 심히...약같기는커녕 무섭다


위의 2D 프랙탈 영상과 합쳐놓은 듯한 컨셉의 영상. 처음에는 장엄하게 가다가 확대를 시작한다.


시에르핀스키. 이번에는 축소하는 동영상이다. 동영상을 보면 재미있는 착시현상을 볼 수 있는데 동영상을 몰입해서 보다가 동영상 화면 옆에 있는 글자를 쳐다보자. 글자가 움직인다.

그 외에도 마블 시네마틱 유니버스 영화인 앤트맨, 닥터 스트레인지가디언즈 오브 갤럭시 VOL.2에서도 신비로운 분위기를 연출하기 위해 등장하였다.

5.3. 4D 프랙탈[편집]


만델브로 집합을 4D에 구현한 영상.

[1] 완벽한 프랙탈은 아니지만 대충 프랙탈처럼 생긴 것.[2] 이 정의는 독일의 수학자인 펠릭스 하우스도르프가 처음 생각해 낸 것이다. 그래서 이 차원 정의를 '하우스도르프의 차원'이라고 하기도 한다.[3] 면적이 0보다 크면 차원이 2보다 작을 수 없다.[4] 측도가 0이 되는 이유는, 매 과정을 거칠 때마다 길이가 23\frac{2}{3}배로 줄어들기 때문에, 무한히 과정을 반복하면 (23)=0\left(\frac{2}{3}\right)^{\infty}=0이 되기 때문이다.[5] 집합농도가 실수와 같다는건 [0,1]\left[0,1\right]의 수직선 구간에서 만들어진 칸토어 집합은 3진법으로 0.a1a2a3...0.a_{1}a_{2}a_{3}...으로 표현할 수 있으며, 각 자리가 0 혹은 2가 된다. 즉, 칸토어 집합을 CC라고 하면, xC,x=k=1ak3k\forall x \in C, x=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_{k}}{3^{k}}(단, ak=0or2a_{k}=0 \text{or} 2)을 만족한다. 그런데, 3진법 소수에서 2진법 소수로의 대응함수 ff를 다음과 같이 대응시킬 수 있다.
xC,f(x)=f(k=1ak3k)=k=1ak2k+1\forall x\in C, f\left(x\right)=f\left(\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_{k}}{3^{k}}}\right)=\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_{k}}{2^{k+1}}}
이 함수의 치역은 2진법 소수로 [0,1]\left[0,1\right]의 구간이기 때문에, 칸토어 집합과 [0,1]사이에 1대 1 대응이 성립하여, 실수집합과 농도가 같게 된다.
[6] 만델브로 집합의 일부분이기도 하다. http://www.youtube.com/watch?v=px4mqU9ZTSA[7] 가끔 사상 최악의 방사능 오염치를 보였다는 미스테리 서클 사진으로 올라오고는 하는데 믿지 말자. 말했다시피 이건 프랙탈 이미지일 뿐이다.